Комплексные функции цепи

Основным методом расчета цепей синусоидального тока является метод комплексных амплитуд. В его основе лежит пред­ставление синусоидальных функций через экспоненциальные функции мнимой частоты ƒ ω:

Применение экспоненциальной функции делает возможным ввести понятие комплексной функции цепи, имеющей исключи­тельно большое значение в теории цепей. Понятие комплексной функции используется для описани линейных цепей, не содержа­щих независимые источники энергии.

В самом общем случае сигнал на выходе (реакция) такой цепи х_вых и сигнал на ее входе (воздействие) х_вх связаны линей­ным дифференциальным уравнением вида

где — вещественные коэффициенты, за­висящие лишь от параметров цепи и ее схемы. Представим воздействие в виде экспоненты

. (6.2)

Реакция линейной цепи в установившемся режиме, т. е. спустя достаточно большой промежуток времени после появления воздей­ствия, имеет всегда тот же вид, что и воздействие, т. е.

(6.3)

Эти величины представляют токи или напряжения, действую­щие на участках цепи.

Так как дифференцирование экспоненты эквивалентно ее умно­жению на ƒ ω, после подстановки выражений (6.2) и (6.3) в фор­мулу (6.1) получим

Комплексной функцией цепи называется отношение реакции цепи к воздействию, заданному в виде экспоненциальной функции мнимой частоты ƒ ω:

Порядок цепи и ее комплексной функции определяется наи­высшей степенью при ƒ ω в знаменателе выражения (6.5).

С помощью комплексной функции легко найти изображение выходного сигнала как произведение

В зависимости от того, рассматривается реакция цепи со сто­роны точек приложения воздействия или же на других ее уча­стках, комплексные функции цепи разделяют на две группы: входные и передаточные.

Пусть на входных зажимах пассивной линейной цепи (рис. 6.1) действуют напряжение и ток .. Выделим в схеме элемент Z₂, на зажимах которого 2 — 2' дей­ствуют напряжение и ток .

Входной функцией цепи называется отношение изображений тока и напряжения, действующих на входных зажимах. В зави­симости от того, какая величина является воздействием, разли­чают входное сопротивление и входную проводимость:

. (6.7)
Передаточной функцией цепи называется отношение изобра­жений токов и напряжений, действующих на разных парах зажи­мов. Взависимости от того, что является воздействием, различают:

комплексные передаточные функции или коэффициенты пере­дачи по напряжению и по току:

; (6.8)

передаточные сопротивления:

(6.9)

передаточные проводимости: