И частотные характеристики цепи

Комплексные функции цепи представляют отношения комп­лексных токов и напряжений, действующих на входе и выходе цепи при синусоидальном воздействии. Как и любые комплекс­ные числа, эти функции можно выразить в показательной или ал­гебраической форме через модуль и аргумент или через веще­ственную и мнимую части:

. (6.30)

Здесь

Зависимость модуля K(ω) комплексной функции цепи от ча­стоты называется ее амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Величина K(ω) определяет отношение амплитуды реак­ции цепи к амплитуде воздей­ствия.

Зависимость аргумента φ (ω) комплексной функции цепи от частоты называется ее фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Величина φ (ω) опре­деляет сдвиг по фазе реакции Непи относительно воздейст­вия.

Зависимость вещественной части R( ω ) от частоты назы­вается вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) цепи, а зависимость мнимой части X(ω) — ее мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Частотные характеристики описывают свойства цепи при воз­действии синусоидальных сигналов. С их помощью можно опре­делить реакцию цепи на заданное воздействие любой частоты, а также судить о важных особенностях и возможностях исполь­зования цепи. Например, АЧХ, приведенная на рис. 6.3, характе­ризует цепь, обладающую.свойством пропускать сигналы только в диапазоне частот от ω _c1 до ω _c2. Такую цепь используют как по­лосовой фильтр. С помощью приведенной АЧХ можно оценить та­кие его качественные показатели, как равномерность характери­стик в полосе пропускания (диапазон частот от ω _c1 до ω _c2), зату­хание в полосе непропускания (частоты менее ω _c1 и более ω _c2), крутизна характеристик на границах полосы пропускания. Кроме того, можно количественно определить граничные частоты ω _c1 и ω _c2, полосу пропускания П = ω _c2 - ω _c1и др.

Комплексная функция цепи К(ω) объединяет АЧХ и ФЧХ и поэтому часто называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Построение АФХ можно сделать как в декартовой, так и в полярной системе координат (рис. 6.4). Откладывая по координатным осям значения R(ω) и jX(ω) или в полярной системе K(ω) и φ (ω), можно при каждом конкретном значении ω найти положение вектора K(jω). Так как его компоненты R(ω), X(ω), K(ω) и φ (ω) в общем случае являются функциями частоты, то с изменением ω положение вектора K(j ω ) будет меняться. При

этом будут изменяться как его модуль, так и аргумент. При из­менении частоты ω от 0 до (или в более общем случае от — до + ) конец вектора опишет траекторию, называемую частот­ным годографом, которая и представляет амплитудно-фазовую характеристику цепи (рис. 6.5). На годогрэф наносится стрелка,

показывающая направление изменения частоты, а также указы­ваются точки, соответствующие конкретным значениям частоты ω. Годографы удобны для исследования устойчивости систем с об­ратной связью.

Для комплексных коэффициентов передачи K(jω) кроме алгеб­раической и показательной формы записи (6.30) часто, например втеории электрических фильтров, используется иная форма записи — экспоненциальная:

(6.35)

где

. (6.36)

Логарифмируя в (6.35) левую и правую части:

приходим к логарифмической частотной характеристике

. (6.38)

Функция α (ω) называется логарифмической амплитудно-ча­стотной характеристикой (ЛАЧХ), а ß (ω) остается равной φ (ω) и является фазо-частотной характеристикой.

Преимущества ЛАЧХ наиболее полно проявляются при реше­нии задач со сложными схемами и в задачах аппроксимации ха­рактеристик.

Величины и ß являются безразмерными; α измеряется в неперах (Нп), белах (Б) или децибелах (дБ):

Все указанные разновидности частотных характеристик могут быть легко измерены экспериментально. Соотношения частотных характеристик сведены в табл. 6.1.

Рассмотрим в качестве примеров частотные характеристики простейших rС- и rL -цепей первого порядка (рис. 6.6 и 6.7), на­шедших самое широкое применение в радиоэлектронике, системах связи, автоматического регулирования и т. д. В зависимости от назначения и соотношения параметров элементов они исполь­зуются в качестве фильтров нижних и верхних частот, переход­ных, корректирующих, дифференцирующих и интегрирующих це­почек.

Комплексную передаточную функцию по напряжению rС -схемы (рис. 6.6, а) найдем как отношения:

Здесь τ =rC — постоянная времени цепи. Соответствующие характеристики приведены на рис. 6.8.

Представляя комплексную функцию (6.40) в алгебраической форме

получаем ВЧХ и МЧХ (рис. 6.9):

⁽⁶·⁴³⁾

Построение частотного годографа или АФХ цепи можно сде­лать в системе координат R(ω) и X(ω) или K(ω) и φ (ω), откла­дывая значение этих функций при каждом конкретном значении

частоты ω, взятом в диапазоне от - до + . В рассматривае­мом случае годограф представляет окружность (рис. 6.10, а).

Комплексную передаточную функцию гС-схемы '(рис. 6.6, 6)' находим аналогично:

Здесь

Графики частотных характеристик приведены на рис. 6.11. В данном случае частотный годограф-также окружность рис. 6.10, 6).

Обращаясь теперь к схемам рис. 6.7, заметим, что выражения для комплексной передаточной функции rL-цепи (см. рис. 6.7, а)

(6.49)

и rL-цепи (см. рис. 6.7, 6)

(6.48)

где -постоянная времени, отличаются лишь значением постоянной τ. Поэтому частотные характеристики rL-цепей (см, рис. 6.7) будут совпадать с частотными характеристиками соответ­ствующих rC-цепей (см. рис. 6.6).