Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий (АВ) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие наступило, т.е. .

Доказательство. Пусть наступлению события А благоприятствуют исходов из равновозможных, не совместных и единственно возможных. Тогда безусловная вероятность события А будет равна

.

Пусть далее из исходов, при которых наступает событие А, наступлению события В благоприятствуют исходов (). Тогда условная вероятность события В, вычисленная в предположении, что произошло событие А, будет равна

.

Вычислим теперь вероятность наступления событий и А, и В. Совместное наступление событий и А, и В может иметь место только в случаях из равновозможных. Следовательно,

.

Разделив и умножив эту дробь на , получим

.

Заметим, что .

Вероятность совместного наступления нескольких взаимозависимых событий (АВС…LК) равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго в предположении, что первое наступило, на условную вероятность третьего в предположении, что первые два наступили, и т.д., т.е.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. .

Доказательство. Из доказанной теоремы следует . Так как события А и В независимы, то . Следовательно, .

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий А, В, С, …, К равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

.