Интегральная теорема Лапласа

Как вычислить вероятность того, что событие А появится в испытаниях не менее раз и не более раз (для краткости будем говорить «от до раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа:

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях от раз, приближённо равна определённому интегралу где и .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами , т.к. неопределённый интеграл не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения функции Ф() для положительных значении и для =0. Для < 0 пользуются той же таблицей, учитывая, что функция Ф() нечётна, т.е. Ф() = Ф(). В таблице приведены значения интеграла лишь до =5, т.к. для > 5 можно принять Ф() = 0, 5. Функцию Ф() называют функцией Лапласа.

Для того, чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем выражение (1) .

Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях от раз,

, где и .