Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Основные гипотезы
|
|
Лекция 2. Множественный регрессионный анализ
Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии
Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной у от нескольких объясняющих переменных х1, …, хk. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.
Имеется n наблюдений. Обозначим i-е наблюдение зависимой переменной yi, а объясняющих переменных xi1, xi2, … xik. Тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:
(1)
где i = 1, 2, …, n число наблюдений.
ε i – регрессионные ошибки случайного характера.
Основные гипотезы
Гипотезы, лежащие в основе модели множественной регрессии, являются естественным обобщением модели парной регрессии:
1. , i = 1, …, n – спецификация модели.
2. xi1, xi2, … xik – детерминированные (неслучайные) величины. Векторы xs =(x1s, …, xns)Т s = 1, …, k линейно независимы в Rn.
3. a. М(ε t) = 0, т.е. математическое ожидание ошибки равно нулю. М(
– не зависит от номера наблюдения i. Означает неизменность дисперсий регрессионной ошибки. (Это свойство наз. гомоскедастичностью регрессионной ошибки).
3. b. М(ε i, ε j)=0 при i≠ j – статистическая независимость (некоррелированность друг с другом) ошибок для разных наблюдений. Некоррелированность ошибок означает, что результат наблюдений одного объекта не может повлиять на результат наблюдений другого.
3. c. Ошибки ε i, i=1, …, n имеют совместное нормальное распределение ε i~N(0, σ 2).
В этом случае модель называется классическойнормальной линейной регрессионной.
Гипотезы, лежащие в основе множественной регрессии удобно записать в матричной форме, которая будет использоваться в дальнейшем.
Пусть:
Y обозначает 
матрицу (вектор-столбец) (y1, …, yn)Т (Т вверху означает транспонирование),
В = (β 0, β 1, …, β к)Т – 
вектор-столбец коэффициентов (неизвестных значений параметров модели),
Е = (ε 1, ε 2, …, ε n)Т – вектор-столбец ошибок,
- 
матрицу объясняющих переменных, которая соответствует набору векторов-столбцов объясняющих переменных, а также вектору-столбцу из единиц, отвечающему за константу в уравнении модели. Матрица должна быть матрицей полного ранга.
- единичная матрица размерности 
;
- ковариационная матрица размерности 
вектора ошибки.
Условия 1-3 в матричной записи выглядят следующим образом:
1. Y=XВ+Е – спецификация модели;
2. X – детерминированная матрица, имеет максимальный ранг k+1;
3. a, b. М(ε)= 0; V(ε)=М(ε ε T)=σ 2 In;
дополнительное условие:
3. с. Е ~N(0, σ 2 In ), т.е. Е – нормально распределенный случайный вектор со средним и матрицей ковариаций σ 2 In (нормальная линейная регрессионная модель).
Оценкой этой модели по выборке является уравнение:
Y = X 
+ Е,
Где 
– вектор-столбец оценок неизвестных параметров модели;
E = (e1, e2, …, en)Т – вектор –столбец регрессионных остатков.