Доверительные интервалы и доверительные области.

Пусть истинное значение j-го коэффициента регрессии. Тогда статистика

(11)

распределена по закону Стьюдента (t-распределения) с n-k-1 степенями свободы.

Из (11) получаем, что интервал

является 100(1-α)%-ным доверительным интервалом для истинного значения коэффициента , где -ная точка распределения Стьюдента с n-k-1 степенями свободы.

При проверке гипотезы H_o: β _j=0 t-статистика выглядит

Значение позволяет сделать вывод об отличии от нуля (на уровне значимости α) заданного коэффициента регрессии и, следовательно, о наличии влияния (связи) X_j на Y.

Коэффициент регрессии считается статистически значимым, если фактическое значение t -статистики Стьюдента и её табличное значение при определенном уровне значимости α и числе степеней свободы связаны условием

В модели множественной регрессии с k факторами, построенной по n наблюдениям для объясненной или факторной, суммы квадратов число степеней свободы равно k.

В модели множественной регрессии с k факторами, построенной по n наблюдениям для необъясненной или остаточной, суммы квадратов число степеней свободы равно

В модели множественной регрессии с k факторами, построенной по n наблюдениям для общей суммы квадратов число степеней свободы равно

Общей характеристикой модели может служить коэффициент детерминации R² и F-статистика модели:

Величина F -статистики рассчитывается как отношение факторной дисперсии к остаточной, приходящихся на одну степень свободы.

В предположении справедливости гипотезы о том, что все коэффициенты модели, кроме константы, равны нулю, т.е. β ₁= β ₂= … =β _к=0 в условиях нормальной линейной модели множественной регрессии, F-статистика должна подчиняться распределению Фишера со степенями свободы (k, n-k-1). Следовательно справедливость этой гипотезы можно проверить следующим образом. По заданному критерию значимости α из таблиц определяют 100α %-ую точку F(k, n-k-1)-распределения f_α (k, n-k-1). Если окажется, что

то гипотеза об отсутствии линейной связи между переменной Y и объясняющими переменными отвергается (с вероятностью ошибки, равной α), и принимается – в противном случае.