Предпосылки МНК

Условия, необходимые для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок представляют собой предпосылки МНК, соблюдение которых желательно для получения достоверных результатов регрессии.

К предпосылкам МНК относятся следующие условия:

- случайный характер остатков

- нулевая средняя величина остатков, не зависящая от х_i

- гомоскедастичность (дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений х)

- отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков распределены независимо друг от друга

- остатки подчиняются нормальному распределению

Гетероскедастичность остатков означает, что дисперсия каждого отклонения неодинакова для разных значений

К тестам, позволяющим выявить наличие гетероскедастичности остатков относят тесты Гольдфельда-Квандта, ранговой корреляции Спирмэна, Уайта, Парка, Глейзера.

Шаги параметрического теста Гольдфельда-Квандта:

Шаг 1 Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной х

Шаг 2 Исключение из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом , где p – число оцениваемых параметров.

Шаг 3 Разделение совокупности из (n-C) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

Шаг 4 Определение остаточной суммы квадратов для первой ( и второй ( групп и нахождение их отношения: , где .

К методам определения автокорреляции остатков относятся:

- визуальный (построение графика зависимости остатков от времени)

- аналитический (использование критерия Дарбина-Уотсона)

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция то значение критерия Дарбина-Уотсона равно 0

Если в остатках существует полная отрицательная автокорреляция то значение критерия Дарбина-Уотсона равно 4

Если автокорреляция остатков отсутствует то значение критерия Дарбина-Уотсона равно 2

Шаги алгоритма выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона:

Шаг 1 Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н₁ и Н₁^* состоят соответственно в наличии положительной

Шаг2 По специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости α. По этим значениям числовой промежуток [0, 4] разбивают на пять отрезков.или отрицательной автокорреляции в остатках.

Шаг3 Принимают или отклоняют каждую из гипотез с вероятностью (1- α) по соответствующей шкале.

Шаг4 Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Н₀

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал от 0 до d_L то можно сказать, что есть положительная автокорреляция остатков

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал от (4- d_L) до 4. В этом случае можно сказать, что есть отрицательная автокорреляция остатков

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал от d_U до (4- d_U). В этом случае можно сказать, что автокорреляция остатков отсутствует

В случае нарушений предпосылок метода наименьших квадратов применяют обобщенный метод наименьших квадратов, который используется для оценки параметров линейных регрессионных моделей с автокоррелированными и/или гетероскедастичными остатками

При использовании обобщенного метода наименьших квадратов расчеты параметров уравнения регрессии с учетом значений ковариационной матрицы остатков могут быть проведены по формуле