Свойства и функции моделей

Свойства и функции модели как любого объекта зависят не только от самой модели, но и от среды, в которой она существует и взаимодействует. Например, бумажные денежные знаки, как модели стоимости будут выполнять свои функции пока в среде их обращения существуют правовые нормы и финансовые учреждения, поддерживающие функционирование денег (царские деньги, " керенки" и др. может быть и имеют историческую ценность, но уже не деньги; вертолёт Леонардо де Винчи, кибернетика Трентовского и др. не были восприняты обществом, поскольку не соответствовали уровню знания и технологии своего времени).

Следовательно для реализации своих модельных функций необходимо, чтобы модель была согласована с культурной средой, в которой ей придётся функционировать.

Но ценность моделей зависит ещё от присущих им свойств, характеризующих отношения моделей к отображаемым оригиналам: конечность моделей, их упрощённость, приближённость, адекватность, истинность.

Конечность моделей. Хотя сам оригинал да и модель как некоторый объект обладают бесконечным числом свойств, тем не менее в них выделяются только то конечное количество схожих свойств, которые подлежат изучению. В этом суть конечности моделей. Изучать сразу бесконечное количество свойств человеку с ограниченными возможностями (временными, ресурсными и т.д.) невозможно. Это же является причиной наличия многих наук (физика, химия и т.д.), которые изучают различные свойства одного и того же объекта.

Упрощённость моделей. Это свойство с неизбежностью вытекает из конечности моделей. Но оно вполне удовлетворяет человеческую практику. Более того, оно является даже необходимым. Так только благодаря упрощению, идеализации условий удалось открыть многие законы, закономерности. Для этого достаточно вспомнить законы движения математического маятника, открытие закона падающего тела Галилеем, идеальный газ, непоглащающее зеркало, конденсатор без утечки и т.д. Трудно представить, что без этих упрощений можно было бы познать основные законы физики.

Другой причиной упрощения, например, математической модели

- отсутствие подходящих методов решения её. Отсюда замена нелинейных моделей линейными, вероятностных - детерминированными, динамических - статическими и т.д.

Имеется ещё один загадочный аспект упрощённости моделей. Часто оказывается, что из двух моделей одинаково хорошо описывающих объект, та, которая проще, лучше отражает его сущность. Например, геоцентрическая модель мира Птоломея и гелиоцентрическая модель Коперника.

Приближённость моделей. Этот аспект моделей характеризует степень их близости к оригиналу. Хотя само по себе различие не может быть ни большим, ни малым (оно либо есть, либо его нет), но при соотнесении его с целью моделирования оно может обнаруживаться. Например, точность наручных часов вполне достаточна для бытовых целей, но совершенно недостаточна для целей астрономии или фиксации спортивных достижений.

Адекватность моделей. Это свойство проявляется в том случае, когда с помощью данной модели достигается поставленная цель. Адекватность означает, что требования полноты, точности, истинности модели выполнены не вообще (безлично), а лишь в той мере, которая достаточна для достижения цели. Модели могут быть очень далёкими от истинности, точности, но быть адекватными. Например, шаман, успешно врачующий, свои действия объясняет силами духов. В данном случае эта модель адекватна цели, ибо она достигается.

В ряде случаев удаётся ввести некоторую меру адекватности моделей, то есть указать способ сравнения двух моделей по степени успешности достижения цели с их помощью. Часто в таких случаях можно количественно ставить вопросы об идентификации модели (то есть нахождении в заданном классе моделей наиболее адекватной), об исследовании чувствительности и устойчивости моделей, об адаптации моделей (то есть подстройке параметров модели с целью повышения адекватности) и т.п.

Истинность моделей. Каждая модель, отражая определённые свойства оригинала, содержит истинные сведения о нём. Степень истинности может выявляться на практике. При этом изменение условий, в которых ведётся сравнение весьма существенно влияет на его результат. Именно из-за этого возможно существование двух противоположных моделей одного объекта. Например, волновая и корпускулярная модели света, электрона. Эти модели различны, противоположны и истины, каждая в своих условиях. Другой пример, модели линии электропередачи: сосредоточенными параметрами и с распределёнными параметрами. В общем случае в модели может содержаться безусловно истинное, условно истинное (взятое при определённых условиях) и предположительно истинное (условно истинное при неизвестных условиях), а следовательно ложное. Ответ на то, какое же фактическое соотношение истинного и ложного в данной модели может дать только практическая деятельность человека. Однако в любом случае модель принципиально беднее оригинала.

Подводя в какой-то степени итог обсуждаемым аспектам понятия модели, и возвращаясь снова к роли среды мы видим, что для выявления свойств моделей, их функционализации требуется выделение в среде определенных подсистем. Таких подсистем не менее четырёх: " субъект" - инициатор моделирования и (или) пользователь его результатов; " объект - оригинал" - объект моделирования; " модель" - отражение объекта; " культурная среда", в которой взаимодействуют все остальные " участники". Всё это вместе является так же моделью модели (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3

Измерения

Модель отражает конечное число свойств объекта, который в отличие от модели имеет бесконечное число их. После того, как такой отбор сделан, необходимо определить процедуру измерения (наблюдения) каждого свойства, которое, в свою очередь, задаёт абстрактную переменную, представляющую наш образ (отображение) соответствующего свойства. В этой связи требуется дальнейшее углубление понимания " свойства". С каждым свойством связано множество его проявлений. Так, если температура воздуха является свойством климата, то множество проявлений этого свойства будет всевозможные значения градусов в различное время, которые характеризуют климат данной местности.

При единичном наблюдении свойство несёт одно конкретное проявление. Для определения возможных изменений его проявлений требуется множество наблюдений. Для этого, однако, необходимо, чтобы отдельные наблюдения свойства, осуществляемые с помощью одной и той же процедуры наблюдения, каким-то образом отличались одно от другого. Любое другое существенное свойство, на самом деле используемое для определения различий в наблюдениях одного и того же свойства, обычно называют базовым свойством.

Типичным базовым свойством является время. В этом случае разные наблюдения одного свойства отличаются друг от друга тем, что они сделаны в разные моменты времени, например, температура воздуха утром, днем, вечером, ночью.

В тех случаях, когда наблюдения одного и того же признака по времени неразличимы, в качестве базового свойства часто может выступать положение в пространстве, в которых сделаны наблюдения. Например, различные значения напряжения, характеризующие качество электроэнергии электрической системы, можно наблюдать в один и тот же момент времени в разных точках сети.

Время и пространство не единственные базовые свойства. Множественные наблюдения одного и того же свойства могут различаться друг от друга по индивидам некой группы. Например, различия регулирующих эффектов по напряжению или частоте различных групп токоприёмников (двигателей, освещения и т.д.); или различная эластичность спроса различных групп потребителей.

Таким образом переменная является операционным представлением свойства, то есть образ свойства, определяемый конкретной процедурой наблюдения или измерения.

Каждая переменная имеет имя (метку), отличающее её от других рассматриваемых переменных, и связывается с определённым множеством величин, через которые она себя проявляет. Эти величины обычно называют состояниями (или значениями) переменной, а всё множество - множеством состояний.

Измерения - это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определённое обозначение: число, номер, символ. Такое соответствие обеспечивает то, что результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте, количество же информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия.

Ясно, что чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных.

Состав измеряемых свойств, множества их состояний, степень соответствия между состояниями и их обозначениями зависят как от природы исследуемого явления, объекта так и от субъекта (экспериментатора). Американский учёный Чёрчмен охарактеризовал изменение как " деятельность, связанную с принятием решения... и направленную на достижение поставленной цели". При этом, лицу, проводящему измерения, придется решать следующие проблемы: языка, детализации, стандартизации и точности.

Проблема языка - это вопрос о том, как следует выразить результаты измерений, чтобы донести их до других, то есть проблема коммуникации. Например, должен ли руководитель крупного предприятия изучить специализированный язык инженера, учёного, работающих для данного предприятия, и должны ли они уметь переводить

результаты своих разработок на язык, который смог бы понять руководитель?

Проблема детализации - это вопрос о том, какие исходные данные, переменные в зависимости от рассматриваемой задачи следует использовать. Например, какие из аспектов вопроса следует рассматривать при определении качества работы энергосистемы: отклонение напряжения у потребителей электроэнергии, колебания напряжения, отклонения частоты, надёжность и т.д. или такие факторы как ущерб, снижение экономической эффективности и т. д. Исследования в каждом из этих направлений требует различной детализации.

Проблема стандартизации состоит в нахождении условий, при выполнении которых будет гарантирована правильность измерений.

Поскольку измерения часто заключаются в сравнении измеряемого объекта со стандартом, эталоном, то измерение становится возможным тогда, когда мы в состоянии понять и предсказать свойство стандартов. Например, металлическая планка в течение длительного времени служила эталоном длины, поскольку мы имели ясное представление о свойствах правильной металлической планки, выполненной из специального сплава, коэффициент расширения которого хорошо известен. Новый стандарт, основанный на явлении излучения лазера, является более точным и не зависит от условий внешней среды, которые в случае образцовой металлической планки должны быть неизменными.

Наконец, проблема точности - это оценка отклонений, то есть точность сама является измерением -измерением степени возможного отклонения результатов измерений от истинного значения.

После такого введения рассмотрим измерительные шкалы для таких объектов, про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие алгоритмы измерения, которые различным состояниям ставят в соответствие различные обозначения, а неразличимым состояниям - одинаковые обозначения. Для таких состояний объекта и их обозначений удовлетворяются следующие аксиомы тождества:

1) либо А=В, либо А-В,

2) если А=В, то В=А,

3) если А=В и В=С, то А=С,

где символ = обозначает отношение эквивалентности (а в случае, если А и В - числа, он обозначает их равенство).

Шкала наименований (номинальная, классификационная). Здесь число различных состояний (число классов эквивалентности) конечно. Каждому состоянию поставлено в соответствие обозначение, отличное от обозначений других состояний. Измерение состоит в том, что проводится эксперимент над объектом, определяется принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности, состоянию и записывается это с помощью символа, обозначающего данный класс, данное состояние. Для обозначения состояния могут быть использованы как слова естественного языка (например, виды электрооборудования электрических сетей: трансформаторы, выключатели, кабели и т.д.), номера (например, инвентарные номера того же оборудования), так и их различные комбинации. Все эти обозначения эквивалентны простой нумерации. Поскольку присваиваемоё классу объектов обозначение в принципе произвольно, эту свободу в выборе можно использовать для удобства. Так при большом и/или нефиксированном числе классов их конкретизация упрощается, если обозначения вводятся иерархически (например, адрес в виде последовательности: страна, город, улица, дом, фамилия). В случае, когда классифицированные состояния образуют непрерывное множество, задача сводится к предыдущей, если всё множество разбить на конечное число подмножеств. С номерами состояний в номинальной шкале нельзя обращаться как с числами, за исключением определения их равенства или неравенства (см. аксиомы 1-3).

С результатами измерений в этой шкале можно выполнять более сложные преобразования: вычислять относительные частоты появления отдельных классов, сравнивать эти частоты между собой и выполнять различные статистические процедуры.

Порядковые шкалы. В тех случаях, когда необходимый (измеряемый) признак состояния объекта позволяет не только отождествлять состояния с одним из классов эквивалентности, но и даёт возможность в каком-то отношении сравнивать разные классы, для измерений можно выбрать более сильную шкалу, чем номинальная: порядковую (ранговую).Измерения в этой шкале уже более информативны, чем в номинальной. В ней удовлетворяются дополнительно к аксиомам 1-3 ещё: 4) если А> В, то В< А

5) если А> В и В> С, то А> С

Аксиомы 1-5 определяют шкалу простого порядка. Например,

номера очерёдности, призовые места в конкурсе. В тех случаях,

когда: 4') либо А, В, либо А.В,

5') если А.В и В.С, то А.C получаем шкалу слабого порядка.

Отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже, если они изображены цифрами, нельзя рассматривать как числа, над ними нельзя выполнять действия, однако допустима операция, позволяющая установить, какое из двух наблюдений, x_i или х_j, предпочтительнее. Для этого вводится функция C(t)={1| t≥ 0; 0| t< 0}.Тогда, если х_i≥ x_j, то С(х_i-x_j)=1, а С(х_j-x_i)=0, что позволяет установить предпочтительность х_i перед х_j.

где n - число состояний, или сравниваемых объектов, называют рангом i-го состояния, объекта. Часто порядковые шкалы стараются усилить (модифицировать). Например, шкала твёрдости по Моосу, шкала силы ветра по Бофорту, шкала землетрясений по Рихтеру, бальные шкалы оценки знаний учащихся и т.д. Имеются и более сильные модификации, когда дополнительно к упорядочиванию измерений добавляются ещё и весовые коэффициенты предпочтения (шкалы Чёрчмена и Акоффа).

Шкалы интервалов. Если упорядочивание состояний можно выполнять настолько точно, что известны расстояния между любыми из них, то изменения еще более усилятся по сравнению с предыдущими. Если выражать все расстояние в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы, то построенные таким образом шкалы называют интервальными. Например, летоисчисления, температура, высота от уровня моря и т.п.

В этой шкале только над интервалами можно выполнять арифметические операции, но не с самими отсчетами по шкале.

Шкалы отношений. Если наблюдаемые величины удовлетворяют не только аксиомам 1-5, но и аксиомам аддитивности:

6) если А=Р и В> 0, то А+В> Р,

7) А+В=В+А,

8) если А=Р и В=Q, то A+B=P+Q,

9) (A+B)+C=A+(B+C),

то введённая таким образом шкала называется шкалой отношений. Это существенно усиленная шкала и с измерениями в такой шкале можно выполнять любые арифметические действия. Величины, измеряемые в шкале отношений, имеют естественный абсолютный нуль, хотя остаётся свобода в выборе единиц (например, длина, вес, электрические сопротивления, деньги)

Расплывчатые множества. До сих пор рассматривались измерения объектов, явлений с чётко различными состояниями. В действительности встречаются случаи, когда тождество или различие двух состояний и/или наблюдений нельзя утверждать с полной уверенностью. Например, утверждения: человек высокого роста, куча песка и т.д. Для измерения таких объектов вводится понятие лингвистической переменной, значения которой расплывчаты по своей природе, как метки размытого, нечёткого, расплывчатого множества [26].

Расплывчатое множество А состоит из неопределённого числа элементов х: признаки, по которым элементы включаются в расплывчатое множество, не позволяют однозначно отделить все элементы, входящие в него, от элементов, ему не принадлежащих. Для характеристики такого множества вводится понятие функции принадлежности m_A(x) считая, что для каждого элемента х можно задать число m_A(x), 0< m_A(х)< 1, выражающее степень принадлежности этого элемента к расплывчатому множеству А. Если m_A(х)=0, то элемент х определённо не принадлежит А, если m_A(x)=1 - определённо входит в него.

Расплывчатое множество А в C определяется как совокупность упорядоченных пар вида

А={x, m_A(x)}, xϵ X

С расплывчатыми множествами иожно выполнять различные действия.

Равенство двух расплывчатых множеств А и В определяется условием

(А=В)< => [m_A(x)=m_B(x)], xϵ X

Включение расплывчатого множества А в множество В определяется как

Множество А' называется дополнением к расплывчатому множеству А, если

m_A(x)+m_A(x)=1

Например, множества " высокие люди" и " невысокие люди" могут быть как дополнительными друг к другу, если их функции принадлежности в сумме тождественно равны единице, так и не являться дополнительными при другом задании функций.

Пересечение различных множеств А и В определяется соотношением

А ⋂ B< => m_A⋂ _B(x)=min[m_A(x), m_B(x)], xϵ X

Объединением А и В

А ⋂ В< => m_A⋂ _B(x)=max[m_A(x), m_B(x)], xϵ X

Алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В определяется равенством

m_AB(x)=m_A(x)m_B(x), xϵ X

Алгебраическая сумма А+В

m_A+B(x)=m_A(x)+m_B(x)-m_A(x)m_A(x), xϵ X

и др.

Самым узким местом теории размытых множеств является задание функций принадлежности.

Статистические измерения. Рассмотренные выше нечёткие множества отражают неопределённость. Но помимо такой неопределённости имеется неопределённость и других видов. Один из них - неизвестность. Другой - случайность. При этом случайность, как непредсказуемость, противопоставляются детерминированности. Под случайностью понимается вид неопределённости, подчиняющейся строгой закономерности, которая выражается распределением вероятностей. Имеются различные точки зрения на вероятность. Согласно одной - это характеристика меры нашего незнания. По мере познания явления в последнем остаётся всё меньше и меньше случайного (Лаплас). Согласно другой - случайность объективное свойство

всех явлений (миром " правит случай"). Существует и промежуточная позиция, признающая существование и детерминизированных и случайных явлений.

При измерениях вероятных явлений определяются статистические вероятности отнесения результатов измерения к тем или иным состояниям или параметры законов распределения. В связи с этим существует соответствующий раздел метрологии со своей теорией и измерительной техникой [27], которые и определяют понятие статистических измерений.

В заключение раздела " измерения" следует отметить, что любые измерения влияют на измеряемые процессы, явления. В одних случаях это влияние может быть малым, несущественным, а в других - существенно изменяющем протекание процесса, особенно в системах достаточно большим человеческим компонентом.