Матричное решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:

Пусть матрица системы является невырожденной. Обозначим через Х матрицу-столбец, составленную из неизвестных х ₁, х ₂ ,..., х_n, и через В матрицу-столбец из свободных коэффициентов b ₁, b ₂,..., b_n, т.е.

.

Тогда систему можно записать в матричном виде:

.

Для того чтобы найти решение системы, умножим левую и правую части последнего равенства на матрицу А ^–1 слева (произведение матриц не коммутативно), получим:

.

Отсюда матричное решение системы будет:

.

Тема на самостоятельное изучение: Тема 4. Элементы теории множеств.

Опр.1. Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Опр.2. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква К – элемент множества бук в русского алфавита).

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; {*, s, h, g}; N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа Î (в противном случае используется символ Ï).

Запись аÎ А означает, что а есть элемент множества А. Аналогично имеем: DÎ {, D, o}.

Запись 4Ï {1, 2, 3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1, 2, 3}.

Основными способами задания множества являются:

1) перечисление всех его элементов: А={а₁, а₂, а₃, …, а_n};

2) описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество.

Например, свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов.

Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов:

М={хÎ N ½ хM2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.

Опр.3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Опр.4 Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ.