Напряжения при поперечном изгибе

В предыдущем параграфе мы видели, что при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения. Соответственно внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении.

При поперечном изгибе в сечении бруса возникает не только изгибающий момент, но и перерезывающая сила. Эта сила является равнодействующей элементарных сил, лежащих в плоскости сечения (рис.5.8).

Рис. 5.8

Таким образом, при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением угловых деформаций . Поэтому нарушается гипотеза плоских сечений. На рис 5.9 показана типичная картина искривления поперечных сечений.

Рис. 5.9

Теоретически и экспериментально доказано, что искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается на величине нормальных напряжений. Таким образом, нормальные напряжения при поперечном изгибе вычисляются по тем же формулам, что и при чистом изгибе

.

Тем самым гипотеза плоских сечений распространяется на поперечный изгиб.

Теперь определим приближенно величину касательных напряжений при поперечном изгибе. Выделим из бруса элемент длиной (рис. 5.10).

При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на величину .

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии от нейтрального слоя (рис. 5.10, б) разделим этот элемент на две части и рассмотрим условие равновесия верхней части. С правой стороны напряжения в каждой точке больше, чем с левой, т.к. изгибающий момент справа больше чем слева (рис.5.10, б).

Рис. 5.10

Равнодействующая нормальных сил в левом сечении в пределах заштрихованной площади равна

или согласно формуле (5.8)

,

где — текущая ордината площадки (рис. 5.10, б),

— статический момент относительно оси части площади, расположенной выше продольного сечения .

Тогда

.

В правом сечении нормальная сила будет другой

.

Разность этих сил в правом и левом сечениях равна

.

Эта разность должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (рис. 5.10, б и в).

В качестве приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения равномерно.

Тогда .

Откуда (5.11)

Эта формула позволяет вычислять напряжения в продольных сечениях бруса. Напряжения в поперечных сечениях равны им по закону парности.

Таким образом, формула позволяет вычислять касательные напряжения в любых точках по высоте поперечного сечения.

Рассмотрим распределение касательных напряжений для некоторых типов поперечных сечений.

Прямоугольное сечение (рис. 5.11).

Возьмем произвольную точку , отстоящую от нейтральной оси на расстоянии . Проведем через эту точку сечение параллельно оси ; ширина этого сечения — .

Статический момент отсеченной (заштрихованной) части равен

; ,

Рис. 5.11

Следовательно,

.

Как известно,

.

Подставляя полученные значения в формулу (5.11), имеем

(5.12)

Формула (5.12) показывает, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы. При получим , а при имеем .

Двутавровое сечение (рис. 5.12). Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая величина.

Рассмотрим произвольную точку (рис. 5.12). Проведем через эту точку линию параллельную оси . Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихована на рис. 5.12) может быть найден как сумма статических моментов площадей и :

.

Эта формула справедлива, когда точка находится в пределах вертикальной стенки, т.е. пока величина лежит в пределах . Эпюра касательных напряжений для вертикальной стенки имеет вид, показанный на рис. 5.12.

Рис. 5.12

.

.