Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции

Пусть заданы моменты инерции . Требуется найти , относительно осей, повернутых к заданным на угол (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Выберем произвольную площадку и выразим ее координаты в новых осях и через старые .

Проектируем замкнутый четырехугольник на оси и . Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим:

.

В выражениях исключаем и тогда

,

откуда

(4.5)

Рассмотрим первые два уравнения из 4.5, складывая их почленно, получим:

.

Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной. Заметим, что , где — расстояние от элементарной площадки до точки 0.

Таким образом

, (4.6)

где — полярный момент инерции.

При помощи выражения 4.6 легко найти осевые моменты инерции для круга.

.

С изменением каждая из величин и меняется, а сумма их остается постоянной. Следовательно, существует такой угол , при котором один из элементов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.

Дифференцируя первое выражение из 4.5 по , и приравнивая производную нулю, найдем

(4.7)

При этом значение один из осевых моментов достигает максимального значения, другой - минимального, а центробежный равен 0.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями.

Найдем величины главных моментов инерции. Для этого первые две формулы из 4.5 приведем к виду

.

Учитывая, что

,

.

Исключаем при помощи 4.7 угол , получим для определения значений главных моментов инерции.

. (4.8)