Формулы обобщенного закона Гука

До сих пор мы отдельно исследовали напряженные и деформационные состояния и не связывали их со свойствами материала. Однако, для решения задач необходимо установить зависимость между компонентами напряжения и деформацией . В пределах малых деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука.

Наиболее простую форму приобрел закон Гука для изотропного материала. В этом случае коэффициент пропорциональности между и не зависят от ориентации осей в точке.

Для составления зависимости между и воспользуемся принципом (суперпозиции) независимости действующих сил и рассмотрим раздельные силы, возникающие на гранях параллелепипеда (рис. 9.14).

Рис. 9.14

Относительное удлинение в направлении оси равно

.

Такие же выражения получим и для и . Угловые деформации будут происходить в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

В любой из координатных плоскостей деформация определяется только соответствующим касательным напряжением. Два других напряжения не влияют, что является следствием свойств изотропии материала.

Выпишем окончательные формулы обобщенного закона Гука.

(9.18)

Объемную деформацию получим сложением первых трех формул

. (9.19)