Переходная функция

Переходная функция h(t) это реакция, отклик линейной системы или звена на ступенчатое единичное воздействие 1₀(t). Ступенчатое единичное воздействие 1₀(t) это функция времени t, равная нулю, пока t меньше нуля и равная единице при t больше нуля. Пример:

Рис. 2.3. Пример виртуального лабораторного стенда, построенного в программе Vissim, для определения переходных характеристик звеньев, и осциллограмма переходной функции колебательного звена. Его переходная функция колебательно стремится к значению 2.7

Переходная функция это своеобразный «отпечаток пальца» звена – каждое звено имеет свою особенную, отличающуюся от переходных функций других звеньев, переходную функцию, по которой можно определить тип и параметры звена. Почему именно переходную функцию выбрали в качестве характеристики звена? Потому что ступенчатый сигнал легко генерировать: не было сигнала, появился постоянный.

Переходная функция модели САР позволяет характеризовать ее качество (быстродействие и точность) в переходном режиме работы. Кроме того, зная переходную функцию линейной системы можно определить реакцию системы на произвольное воздействие.

Важное для практики приложение переходной функции – идентификация объектов и систем: определение по экспериментально снятой переходной функции вида типового звена, которым можно промоделировать отдельные элементы и системы в целом, а также возможность определения параметров моделирующих звеньев.

Примеры переходных функций некоторых основных типовых звеньев:

- Пропорциональное звено

Его переходная функция равна

h(t) = k·1₀(t) (2.11)

здесь k – коэффициент усиления звена. Коэффициенты усиления типовых звеньев могут быть размерными и безразмерными.

Примечание. Часто в литературе в формулах переходных функций звеньев (2.11 и далее) ступенчатая функция в правой части не указывается, но подразумевается, что h(t) равна нулю при t ≤ 0. Это условие физической реализуемости звена, которое означает, что отклик звена появляется вследствие и, поэтому, после воздействия, а не до него. Условие физической реализуемости отражает причинно-следственную связь между входным и выходным сигналами.

Как видно из определений (2.3) и (2.11), пропорциональное звено это безинерционное звено, усиливающее сигнал в k раз в любой момент времени, как бы быстро он не изменялся. Пропорциональным звеном моделируются системы управления и их элементы в статике, в таком режиме, когда воздействия, поступающие на систему управления, не изменяются во времени уже в течение достаточно длительного времени.

Рис. 2.4. Переходная функция пропорционального звена и порядок определения его коэффициента усиления по заданной переходной функции

- Интегратор:

Его переходная функция в соответствии с определением (2.5) равна

(2.12)

здесь T – постоянная времени интегратора. k₁ = 1/T – коэффициент усиления интегратора.

Интегратор способен накапливать поступающий на него сигнал с течением времени. В частности, (2.12) показывает, что при подаче ступенчатого воздействия на интегратор, его выходной сигнал изменяется линейно с течением времени, т.е. накопление действительно происходит.

Рис. 2.5. Переходная функция интегратора, порядок определения его постоянной времени Т и проверка того, действительно ли звено является интегратором. Переходная функция линейно растет с увеличением времени. Постоянная времени интегратора определяется временем пересечения переходной функцией уровня входной ступеньки. Звено действительно является интегратором, поскольку увеличение, например, вдвое величины входной ступеньки приводит к такому же удвоению крутизны переходной характеристики и сохранению значения постоянной времени

Рис.2.6. Определение крутизны переходной характеристики интегратора. Крутизна S равна коэффициету усиления интегратора k₁ = S и обратнопропорциональна его постянной времени Т = 1/S

Примеры реальных устройств, которые могут быть промоделированы интегратором: электрические и гидравлические емкости, двигатели и вообще, устройства, имеющие вращающиеся валы.

- Апериодическое (инерционное) звено:

Его переходная функция равна

(2.13)

здесь – коэффициент усиления и T – постоянная времени апериодического звена.

Апериодическое звено – простейшее из тех звеньев, которые обладают инерцией. Действительно, (2.13) показывает, что это звено не сразу, вначале быстро, а затем все более постепенно реагирует на ступенчатое воздействие. Это происходит потому, что в физическом оригинале апериодического звена имеется один накапливающий элемент (а также один или несколько потребляющих энергию элементов), энергия, запасенная в котором, не может изменяться скачком во времени – для этого потребовалась бы бесконечная мощность.

Рис. 2.7. Переходная функция апериодического звена. Звено не сразу, а постепенно реагирует на скачкообразное изменение входного сигнала

Рис. 2.8. Переходная функция апериодического звена. Порядок определения параметров апериодического звена: коэффициента усиления k и постоянной времени Т. Постоянная времени Т определяется временем пересечения касательной, проведенной к переходной функции в нулевой момент времени, уровня коэффициента усиления звена. Этот уровень равен асимптотическому значению переходной функции. За время 3Т переходная функция достигает уровня в 95% от ее конечного значения, поэтому считается, что за время 3Т переходный процесс в апериодическом звене практически заканчивается

Т.о. длительность переходного процесса в апериодическом звене является мерой его инерционности.

Простой пример апериодического звена это интегрирующая RC-цепь, в предположении, что внутреннее сопротивление источника подаваемого на цепь напряжения пренебрежимо мало, а сопротивление нагрузки цепи очень велико.

Рис. 2.9. Подключение цепи к источнику постоянного напряжения подает на нее ступеньку напряжения, величиной 12 В. Напряжение на конденсаторе растет по тому же закону, что и выходной сигнал апериодического звена, на которое подается ступенчатый сигнал

Модель апериодического звена может быть задана передаточной функцией (блоком transferFunction), а может быть составлена из интегратора, сумматора и усилителя. В частности

Рис. 2.10. Эквивалентная схема апериодического звена, составленная из интегратора, охваченного жесткой отрицательной обратной связью с коэффициентом усиления k1, сумматора и входного усилителя с коэффициентом усиления k2. Изменяя значения коэффициентов усиления k1 и k2 можно получить любые требуемые значения параметров k и T апериодического звена

Схема, составленная из интегратора, сумматора и усилителей занимает на рабочем поле Vissim’а больше места, но работает (просчитывается Vissim’ом) быстрее (см. [6] примечание редактора и ответ автора).

- Колебательное звено:

Его переходная функция равна

(2.14)

здесь три параметра - k – коэффициент усиления, T – постоянная времени и δ - декремент затухания.

Колебательное звено наряду со свойствами, присущими уже перечисленным звеньям (способности к усилению, накоплению и инерционностью), обладает и еще одним свойством, которого нет у более простых звеньев, колебательностью. Это его способность при определенном сочетании параметров T и δ переходить к новому стационарному значению, определяемому воздействием, или возвращаться в исходное состояние после снятия воздействия, колебательно. Такое поведение обусловлено наличием в колебательном звене двух накапливающих элементов, способных обмениваться друг с другом энергией разного рода (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной и т.п.), и элемента(ов), потребляющего, рассеивающего энергию.

Если затухание достаточно велико или накапливающие элементы содержат энергию одного вида, например это два электрических конденсатора, то колебаний в звене не происходит, и его называют еще и апериодическим второго порядка.

Рис. 2.11. Переходные функции колебательных звеньев. С течением времени значения функций стремятся к величине коэффициентов усиления звеньев

При δ > 1 трение в системе, рассеивание энергии, относительно велико и колебательность переходной функции исчезает, функция становится монотонной.

Постоянная времени Т колебательного звена не равна периоду колебаний Т_кол, она связана с периодом, но существенно меньше его:

при δ < 0.5 период затухающих колебаний примерно равен Т_кол ≈ 2 π Т.

По колебательной (δ < 0.5) переходной характеристике колебательного звена можно приближенно оценить его параметры:

• - уровень успокоения колебаний равен коэффициенту усиления k звена;
• - постоянная времени приближенно равна Т ≈ Т_кол / 2π
• - декремент затухания приближенно равен δ ≈ 3Т / Т_пер,
• где Т_пер - длительность переходного процесса, определяемая промежутком времени, за которое переходная функция попадает в пятипроцентный коридор.

Рис. 2.12. Переходная функция колебательного звена позволяет оценить его параметры. Продолжительность переходного процесса Т_пер в колебательном звене при δ < 0.5 равно отношению утроенной постоянной времени Т к декременту затухания δ

Модель колебательного звена может быть задана передаточной функцией (блоком transferFunction), а может быть составлена из интеграторов, сумматоров и усилителей. Например

Рис. 2.13. Эквивалентная схема колебательного звена, составленная из двух последовательно включенных интеграторов, охваченных отрицательными обратными связями, сумматоров и усилителей. Изменяя значения коэффициентов усиления k1, k2 и k3 можно получить любые требуемые значения параметров колебательного звена

- Звено запаздывания:

Его переходная функция равна

(2.15)

где τ _з – единственный параметр звена запаздывания: это время, на которое задерживается сигнал, проходя звено запаздывания.

Рис. 2.14. Звено запаздывания не изменяет форму сигнала, но задерживает его по времени на величину τ _з

Этим звеном моделируются системы и устройства, сигналы в которых задерживаются на ощутимую величину по сравнению с временными параметрами, характеризующими инерционность этих систем. Это, как правило, протяженные в пространстве устройства: линии связи, трубопроводы, транспортеры и т.п.

Звено запаздывания выносится на рабочее поле Vissim’а из меню (Blocks - Time Delay – timeDelay).

Рис. 2.15. Исследование звена запаздывания

Звено запаздывания может быть приближенно заменено апериодическим звеном при относительно небольших задержках сравнительно медленно изменяющихся сигналов (верхняя осциллограмма). Постоянная времени аппроксимирующего апериодического звена равна времени задержки сигнала в звене запаздывания.