Есеп 3. 1 есептiң берiлуi бойынша табыстылық көрсеткiшiн анықтау керек.

а) Ағ ымдағ ы табыстылық:

.

б) Толық табыстылық:

< 100 болғ андық тан, < i, яғ ни 10, 6 < i.

Интерполяция ү шiн мына ставкаларды қ алап алайық = 10, 5 (0, 105) жә не

= 11, 5 (0, 115).

формуласы бойынша табамыз:

.

.

Онда мына формула бойынша:

Алынғ ан нә тижемiздi тексеру ү шiн i =11, 0107 тең орналастыру ставкасын қ олдану арқ ылы облигацияның есептi бағ амын табамыз:

.

Табылғ ан орналастыру ставкасы бойынша есептелiнген (94, 0504) облигация бағ амы, нарық тық бағ асымен номиналын салыстыру арқ ылы анық талынғ ан (94, 11) облигация бағ амынан аздағ ан айырмашылығ ы бар.

Облигациялардың басқ а тү рлерiне қ атысты табыстылық кө рсеткiшiнiң есептелуiн қ арастырайық.

Проценттерi тө ленбейтiн облигация. Бұ л облигация тү рi ү шiн табыс кө зi ретiнде ө теу бағ асы (немесе номиналы) мен сатып алу бағ асы аралығ ындағ ы айырмасы болып саналады.

Егер облигация номиналының дисконтталғ ан мә лшерiн облигация бағ амы арқ ылы бейнеленген сол облигацияның бағ асына тең естiрсек:

, онда:

,

мұ ндағ ы - облигация бағ амы, < 100;

n – облигацияның сатып алынғ анынан бастап ө телу сә тiне дейiнгi уақ ыт мерзiмi.

Есеп 4. Коммерциялық банк 2003 жылы проценттерi тә ленбейтiн облигациялар шығ арды. Ол облигациялар 2007 жылы ө телуi тиiс. Шығ арылу кезiнде облигацияның таралым бағ амы 76, 5-ге тең болды. Облигация табыстылығ ын анық тау керек.

.

Проценттерi айналым мерзiмi соң ында тө ленетiн облигациялар. Бұ л облигация тү рiнiң иесi айналым мерзiмiнiң соң ында есептелiнген проценттерiмен қ оса оның номиналды қ ұ нын алады. Осы мө лшердi дисконттап жә не оны сатып алу бағ асына тең естiрсек, онда:

,

мұ ндағ ы - i ставкасы бойынша есептелiнген дисконт кә бейтiндiсi

Кә рсетiлiп отырғ ан тең дiктен табамыз:

.

1.3 Облигациялармен жасалғ ан мә мілелердің сомасын есептеу

Сауда-саттық жү йесінде облигациялардың саудасы " таза" бағ асымен жү зеге асырылып, бір облигацияның номиналды қ ұ нына пайызбен кө рсетіледі (осы Ə дістеменің 5 тарауымен белгіленген ерекшеліктерден басқ а). Облигациялардың саудасы барысында олардың саны ретінде (мə міле жасасуғ а берілген ө тінімдерде жə не жасалғ ан мə мілелерде) мə міледегі облигациялар санының натуралды кө рсеткішінің (бағ алы қ ағ аздармен) жə не ə р бір осындай облигацияның номиналды қ ұ нына кө бейтіндісі қ олданылады. Облигациялармен жасалғ ан мə міленің сомасы келесі алгоритммен анық талады: 1) " таза" бағ амен жасалғ ан мə міленің кө лемі, ə р облигацияның " таза" бағ асының жə не, осы Ə дістеменің 13 тармағ ына сə йкес анық талғ ан, мə міледегі облигациялар санына кө бейтіндісі арқ ылы анық талады (осы Ə дістеменің 15 тармағ ымен белгіленген ерекшеліктерді ескеріп); 2) мə міле заты болып табылатын облигациялар бойынша жинақ талғ ан сыйақ ы кө лемі келесі формуламен есептелінедіосы тармақ тың 1) тармақ шасына сə йкес анық талғ ан, " таза" бағ амен жасалғ ан мə міленің кө лемі, осы тармақ тың 2) тармақ шасына сə йкес есептелінген, облигациялар бойынша жинақ талғ ан сыйақ ы мө лшеріне қ осылады; 4) егер облигациялар шетел валютасымен номинацияланғ ан болса, осы тармақ тың 3) тармақ шасына сə йкес табылғ ан сомасы, осы Ə дістеменің 4 тарауына сə йкес, тең гемен есептеледі; 5) осы тармақ тың 3) тармақ шасына сə йкес (осы тармақ тың 4) тармақ шасына сə йкес – шетел валютасымен номинацияланғ ан облигацияларғ а қ атысты) алынғ ан нə тиже, математикалық дө ң гелектеу ережелеріне сə йкес (беске дейінгі сандар нө лге дейін дө ң гелектеніп, бес жə не бестен жоғ ары сандар онғ а дейін дө ң гелектенеді) ү тірден кейінгі екінші таң басына дейін дө ң гелектенеді. 15. Номиналды қ ұ ны кү нделікті белгілі мə ні бар (мысалы, АҚ Ш долларының орта ө лшенген бағ амы бойынша) қ андай да бір кө рсеткішке индекстелетін облигациялармен жасалғ ан мə мілелердің сомасын анық тағ анда, мə міледегі облигациялардың саны натуралды мə ні ретінде (бағ алы қ ағ аздармен) облигациялардың саны мен осындай бір облигацияның индекстелінген номиналды қ ұ нына кө бейтіндісі қ олданылады.

Банк 10 жылдық ө теу мерзiмi бар облигациялар шығ арды. Облигация номиналына проценттердiң есептелiнуi - жылдық 6%. Проценттiк тө лемдерi жә не номиналды қ ұ ны облигацины ө теген кезiнде тө ленедi. Анық тау керек облигация табыстылығ ын (орналастыру ставкасын), егер оның бағ амы бастапқ ы сату кезiнде мынадай болса:

а) 108, 0; б) 92, 0.

а) .

б) .

.

Орналастыру ставка мә лшерiн интерполяция ә дiсiн қ олдану арқ ылы анық тауғ а болады. Облигация табыстылығ ын анық тау ү шiн кейде жә й проценттiк ставканы қ олдануғ ада болады. Бұ л жағ дайда орналастыру ставкасы мынағ ан тең:

,

мұ ндағ ы g – процент жү зiнде ө рнектелген облигацияның ағ ымдағ ы табысы.

Ағ ымдағ ы табыстылық кә рсеткiшi мен орналастыру ставкасы араларында жә й жә не кү рделi проценттер негiзi бойынша ә рнектелген белгiлi бiр байланыс бар.

Облигацияны сыйлығ ымен қ оса сатып алу кезiнде: .

Егер облигация дисконтпен қ оса сатып алынса, онда .

Облигацияны номиналы бойынша сатып алғ ан жағ дайда оның барлық табыстылық кә рсеткiштерiнiң мә ндерi ә зара бiрдей болады жә не g ставкасына тең болады.

1 есептiң берiлу шартына қ арай облигацияның табыстылығ ын жә й проценттер негiзiнде анық тау керек.

Табыстылық облигация таң даудағ ы ең маң ызды критерийi болғ анымен, сонымен қ атар ол облигацияның жалғ ыз критериi болып санала бермейдi. Инвестор ү шiн сол немесе басқ а облигация тү рiнiң тартымдылық кә рсеткiшiнiң басқ а тү рi ретiнде облигацияның ә телуiне дейiнгi мерзiм ұ зақ тығ ы болып та саналады. Мерзiм ұ зақ тығ ы кө бейген сайын облигация иесi ү шiн оның қ аржы қ ауiпi де ә седi. Ә рине, купондық табысы бар облигацияларды сатып алу қ ауiпiнiң мә лшерi проценттерi мерзiм соң ында тө ленетiн облигацияларғ а қ атысты қ ауiптен анағ ұ рлым тө мен. Осығ ан орай облигацияның сатып алу сә тiнен бастап оның ө теу мезгiлiне дейiнгi уақ ыт кезең iнде табыстардың ү лестiру ерекшелiктерiн сол немесе басқ а да дә реже тү рiнде сипаттайтын бiр қ атар кә рсеткiштер бар.

Сондай кә рсеткiштердiң бiрi ретiнде облигацияның орташа мерзiмi болып саналады. Бұ л кә рсеткiш облигациялар бойынша барлық тә лемдердiң орташа мерзiмiн анық тайтын безбенделген орта шамасы болып табылады. Жыл сайынғ ы купондық тө лемдердi атқ арғ анда тө лемдердiң орташа мерзiмi былай анық талады:

,

мұ ндағ ы - 1, 2,..., n – купон бойынша жыл ө лшемiмен ө лшенетiн тө лемдер мерзiмi;

- тө лем сомасы;

N – облигацияның номиналды қ ұ ны;

g – купондық процент;

- облигациялардың орташа мерзiмi.

Купондық тө лемдер жыл сайын атқ арылғ андық тан - арифметикалық прогрессиясының бiрiншi мү шелер сомасы болып табылады. Осы шаманының мә нiн (17) формулағ а қ ойсақ, онда:

.

Купондық тө лемдер атқ арылғ анда: .

Купондық тө лемдерi атқ арылмайтын облигациялар ү шiн: .

(17) жә не (18) формулалар облигациялардың орташа мерзiмiн есептеу ү шiн қ олданылады, егер облигациялар номиналы бойынша ө телсе. Ал, ө теуiн тө леп алу бағ асы (С) номиналына сә йкес болмаса, яғ ни , онда облигацияның орташа мерзiмi мына формула арқ ылы есептелiнедi:

,

мұ ндағ ы .

Жартыжылдық купондық тө лемдердi ө теу жағ дайында облигацияның орташа мерзiмi мынағ ан тең:

,

мұ ндағ ы

Бұ л жағ дайда , ал облигацияның орташа мерзiмi:

. (20)

Номиналы 1000 тең гелiк облигация 4 жылдан кейiн ө телуге тиiс мерзiмi бойынша шығ арылды. Жыл сайын купон бойынша номиналдың 12%-тiк мә лшерi тө ленiп отырады. Анық тау керек облигацияның орташа мерзiмiн

Тө лемдердiң мерзiмдерi, жыл,	Тө лемдер, тең ге	(, тең ге)	Тө лемдер, %,	(, %)
			12, 0	12, 0
			12, 0	24, 0
			12, 0	36, 0
	120+1000		12, 0+100, 0	448, 0
Барлығ ы:			148, 0	520, 0

Мына (17) формула бойынша:

жыл немесе жыл.

Сонымен қ атар (18) формула бойынша облигацияның орташа мерзiмiн анық таймыз:

жыл

Егер есептiң шартын ө згертсек: мысалғ а купондар бойынша проценттерi жылына екi рет тө ленсе.

Тө лемдердi» мерзiмдерi, жыл,	Тө лемдер, тең ге	( тең ге)	Тө лемдер, %,	(, %)
0, 5	60, 0	30, 0	6, 0	3, 0
1, 0	60, 0	60, 0	6, 0	6, 0
1, 5	60, 0	90, 0	6, 0	9, 0
2, 0	60, 0	120, 0	6, 0	12, 0
2, 5	60, 0	150, 0	6, 0	15, 0
3, 0	60, 0	180, 0	6, 0	18, 0
3, 5	60, 0	210, 0	6, 0	21, 0
4, 0	60, 0 + 1000	4240, 0	6, 0 + 100, 0	424, 0
Барлы№ы:	1480, 0	5080, 0	148, 0	508, 0

жыл, немесе жыл.

Мына (20) формула бойынша:

жыл

ә рине, проценттiк тә лемдердiң ө телу жиiлiгiн кә бейту облигацияның орташа мерзiмiн тө мендетедi.

Облигацияның орташа мерзiм кө рсеткiшiнен басқ а оғ ан экономикалық мә нiне жақ ын тә лемдердiң орташа ұ зағ тығ ын сипаттайтын кә рсеткiш бар. Кейде оны ө згергiштiк кө рсеткiшi деп те атайды; оны D символымен белгiлейдi. Облигацияның орташа мерзiмi () кә рсеткiшiне қ арағ анда D кә рсеткiшiн есептегенде безбен ретiнде тө лемдер сомасы емес, оның есептелуiне нақ ты нарық тық проценттiк ставка қ олданылғ ан баламалы ө лшемдер қ абылданады

Егер облигациялар бойынша проценттер жыл сайын тө ленiп отырса, онда тө лемдердiң орташa , (21)

,

мұ ндағ ы t = 1, 2,..., n.

мә лшердi, белгiлi бiр ө рнектеуден кейiн мына тү рде жазуғ а болады:

. (

Осы формуланы қ олдану арқ ылы тө лемдердiң орташа ұ зақ тығ ының есептелуi жең iлденедi. g > 0 болғ ан жағ дайда облигацияның орташа мерзiмi мен тө лемдердiң орташа ұ зақ тығ ы араларындағ ы қ атынас мына тең сiздiкпен сипатталады . Облигацияның орташа мерзiмiн кө бейткенде осы екi ө лшемдер арасындағ ы айырмасы ү лкейе тү седi.