Решение. Изобразим на силовой схеме предположительное направление реакций опор и – оба вектора направлены вверх.

Изобразим на силовой схеме предположительное направление реакций опор и – оба вектора направлены вверх.

Определим величину и направление реакций и , используя уравнения равновесия плоской системы сил.

Составим уравнение моментов сил относительно опоры С, считая действие момента по направлению движения часовой стрелки положительным (со знаком «плюс»):

;

Н.

Знак «минус» свидетельствует о неправильно выбранном направлении . Меняем на схеме направление вектора на противоположное.

Реакция = 400 Н, направлена вниз.

Составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось Y, считая направление вектора вверх положительным (со знаком «плюс»):

;

Н.

Знак «минус» свидетельствует о неправильно выбранном направлении . Меняем на схеме направление вектора на противоположное.

Реакция = 200 Н, направлена вниз.

Проверяем правильность решения, используя дополнительное уравнение моментов сил относительно любой неопорной точки, например точки В:

.

Полученный в результате вычислений «ноль» свидетельствует о правильности определения реакций и как по величине, так и по направлению.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение силы. Чем характеризуется действие силы?

2. Как определить момент силы относительно точки?

3. Дайте определение пары сил. Как найти момент пары сил? Как он обозначается на схемах?

4. Дайте определение вращающего и изгибающего моментов.

5. Что называется связью, реакцией связи?

6. Сформулируйте правила определения направления реакций связей.

7. Что называется главным вектором и главным моментом системы сил? Как они определяются?

8. Сформулируйте условия равновесия плоской системы сил; напишите уравнения равновесия.

9. Решите задачу. На рис. 2.7 изображена балка на двух шарнирных опорах В и D, нагруженная силами Н, Н и сосредоточенным моментом Нм. Размер м. Определить величину и направление реакций опор и и произвести проверку.

Ответ: Н, направлена вверх; Н, направлена вниз.

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

3.1. Прочность, жесткость, устойчивость

Работоспособность конструкции зависит от прочности, жесткости и устойчивости составляющих ее элементов.

Прочность – способность конструкции и ее элементов воспринимать нагрузку без разрушения.

Жесткость – способность конструкции и ее элементов сопротивляться деформации, то есть изменению первоначальной формы и размеров под действием нагрузок.

Устойчивость – способность конструкции и ее элементов сохранять начальную форму упругого равновесия.

Большинство деталей механизмов рассчитывают на прочность, решая три основные задачи:

- определение рациональных размеров;

- определение безопасных нагрузок;

- выбор наиболее подходящих материалов.

При этом реальную конструкцию заменяют расчетной схемой, а результаты расчетов проверяют экспериментально.

3.2. Метод сечений. Внутренние силовые факторы

Внешние силы, действующие на элементы конструкций, разделяют на активные (нагрузки) и реактивные (реакции связей). Они вызывают появление внутренних сил сопротивления. Если внутренние силы превзойдут силы сцепления отдельных частиц материала, произойдет разрушение данного элемента конструкции. Следовательно, для оценки прочности изучаемого объекта необходимо знать внутренние силы и закон их распределения по объекту. Для решения этих задач используют метод сечений. Рассмотрим в равновесии элемент конструкции произвольной формы (рис. 3.1), нагруженный системой внешних сил . В любом сечении этого элемента будут действовать внутренние силы, которые необходимо определить. Для этого мысленно рассечем рассматриваемый объект произвольно выбранным сечением на две части: А и Б.

На каждую из этих частей будут действовать внешние силы и и внутренние силы в сечении , уравновешивающие действие отсеченной части:

; .

Следовательно, внутренние силы, возникающие в рассматриваемом сечении, равны сумме внешних сил, действующих на одну из отсеченных частей:

; .

Как всякую систему сил, внутренние силы можно привести к одной точке, например к центру тяжести сечения О в виде главного вектора и главного момента :

; .

Проектируя действующие по одну сторону от сечения внешние силы и моменты этих сил на выбранные оси координат, получают шесть уравнений равновесия, решением которых являются шесть внутренних силовых факторов:

По виду деформации внутренние силовые факторы получили следующие названия:

– сила N, действующая по нормали к плоскости поперечного сечения, вызывает деформацию растяжения или сжатия в направлении продольной оси C и называется нормальной (продольной, осевой) силой;

– силы Q, действующие в плоскости поперечного сечения, вызывают деформацию сдвига (среза) в направлении поперечных осей Y (сила Q_y) и Z (сила Q_z) и называются поперечными (перерезывающими) силами;

– момент М_Х, действующий вокруг продольной оси Х, вызывает деформацию кручения в плоскости поперечного сечения и называется крутящим моментом;

– моменты М, действующие вокруг поперечных осей Y (момент М_y) и Z (момент М_z) вызывают деформацию изгиба в плоскостях XZ и XY и называются изгибающими моментами.

Таким образом, внутренние силовые факторы определяют как алгебраические суммы проекций внешних сил и моментов, действующих на рассматриваемую часть элемента конструкции. При этом следует учитывать правила знаков, графическая интерпретация которых представлена на рис. 3.2:

– продольная сила N считается положительной, если внешняя сила F растягивает сечение (направлена от сечения), и отрицательной, если сила F сжимает сечение (направлена на сечение);

– поперечная сила Q считаются положительной, если внешняя сила F стремится повернуть отсеченную часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, и отрицательной, если – в противоположном направлении;

Продольная сила N Крутящий момент М_Х

Поперечная сила Q Изгибающий момент M

Рис. 3.2

– крутящий момент М_Х считается положительным, если внешний вращающий момент со стороны сечения направлен по часовой стрелке, и отрицательным при обратном направлении;

– изгибающий момент М считается положительным, если под действием внешнего изгибающего момента продольная ось изгибается выпуклостью вниз, и отрицательным, если выпуклостью вверх.

3.3. Эпюры внутренних силовых факторов

Учитывая, что в различных сечениях одного и того же элемента конструкции возникают разные силы и моменты, строят графики изменения внутренних силовых факторов, называемые эпюрами. Построение эпюр ведут в следующей последовательности.

1. Составляют расчетную схему изучаемого объекта и определяют (если необходимо) реакции связей из условия равновесия системы всех внешних сил (включая реакции).

2. Исследуемый объект размечают на участки, границами которых являются точки приложения сил, сосредоточенных моментов или пределы распределенной нагрузки.

3. Для произвольного сечения каждого участка составляют аналитические выражения внутренних силовых факторов, используя метод сечений и правила знаков.

4. Вычисляют значения внутренних силовых факторов на границах участков и для каждого из них строят эпюру.

5. Значения внутренних силовых факторов откладывают в выбранном масштабе и в направлении, перпендикулярном базовой (нулевой) оси эпюры.

6. Эпюры принято штриховать линиями, перпендикулярными базовой оси.

7. На эпюрах проставляют числовые значения внутренних силовых факторов в характерных сечениях и знак (плюс или минус).

8. Рядом с эпюрой напротив базовой оси пишут обозначение силового фактора и единицу его измерения.

3.4. Пример решения задач

Задача. На рис. 3.3 изображена балка на двух шарнирных опорах А и С, на которую действуют силы активные (нагрузки , и момент ) и реакции опор и , рассчитанные из условия равновесия системы сил (см. пример п. 2.4).

Заданы параметры: Н,

Н, Нм, Н,

Н; размеры участков балки: м, м.

Требуется определить внутренние силовые факторы, действующие в поперечных сечениях балки, и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов .