Решение 1 страница

Выделим на схеме три характерных участка АВ, ВС и СD, границами которых являются точки приложения сил. Используя метод сечений, последовательно на каждом участке проводим произвольное поперечное сечение с координатой . Мысленно отбрасываем одну из отсекаемых частей балки (правую или левую), составляем уравнения равновесия для оставшейся части и определяем внутренние силовые факторы как алгебраическую сумму (с учетом правила знаков) всех внешних сил и моментов этих сил относительно сечения, действующих на рассматриваемую часть:

; .

Участок АВ. Проводим сечение с координатой , изменяемой в пределах границ участка: (начало координат в точке А). Из условия равновесия рассматриваемой части длиной составляем выражения для поперечной силы и изгибающего момента в сечении:

Н (постоянна на всем участке).

Эпюра поперечной силы представляет собой прямую, параллельную базовой линии эпюры. Знак «минус» силы соответствует повороту рассматриваемой части балки относительно сечения против часовой стрелки (см. правила знаков):

(изменяется по линейному закону).

График изменения изгибающего момента представляет собой наклонную прямую. Знак «минус» соответствует выпуклому изгибу балки. Значение момента достаточно вычислить для двух сечений, соответствующих границам участка АВ:

при

;

при

Нм.

Полученные координаты в выбранном масштабе отмечаем по эпюре М (положительные значения откладываем вверх от базовой линии эпюры, а отрицательные – вниз) и соединяем их прямой линией.

Участок ВС. Проводим сечение с координатой , изменяемой в пределах участка (начало координат остается в точке А). Для рассматриваемой части балки длиной составляем выражения для поперечной силы и изгибающего момента :

Н (постоянна на всем участке).

Эпюра поперечной силы аналогична эпюре , так как значения не зависят от координаты сечения :

(изменяется по линейному закону).

График изменения изгибающего момента является наклонной прямой. Вычислим значение для граничных сечений участка ВС:

при

Нм;

при

Нм.

По полученным координатам строим эпюру М на участке ВС.

Участок СD. На этомучастке удобнее рассматривать правую отсеченную часть балки, мысленно отбрасывая левую часть. В этом случае выражения для и имеют более простой вид.

Проводим сечение с координатой , изменяемой в пределах участка (начало координат переносим в точку D). Для рассматриваемой части балки длиной составляем выражения для поперечной силы и изгибающего момента :

Н (постоянна на всем участке);

(изменяется по линейному закону).

Вычисляем значения для граничных сечений участка СD:

при

;

при

Нм.

По полученным координатам строим эпюры и на участке СD.

Для проверки правильности построения эпюр Q и M могут быть использованы их характерные особенности (при этом эпюры следует рассматривать слева направо):

– в сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q будут скачки: величина скачка равна величине силы, а направление указано вектором силы;

– в сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре М будут скачки: величина скачка равна величине приложенного момента, а направление скачка будет положительным при направлении момента по часовой стрелке, и отрицательным – если наоборот;

– на участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базовой оси эпюры, а эпюры М – наклонными прямыми;

– на участках, где , эпюра М возрастает, а где , эпюра М убывает;

– в сечениях, где эпюра Q пересекает базовую ось (), эпюра М имеет экстремальное значение.

Использование этих положений упрощает задачу построения эпюр Q и М: определяют внутренние силовые факторы для характерных точек (границ участков) и строят эпюры.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения прочности, жесткости и устойчивости конструкции и её элементов. В чем их различия?

2. Ознакомьтесь с понятиями внешних и внутренних сил. В чем их различие? Как они связаны с оценкой прочности элементов конструкций?

3. Ознакомьтесь с назначением и сущностью метода сечений.

4. Какие внутренние силовые факторы могут возникнуть в поперечном сечении нагруженного стержня? Укажите их обозначения, направления и единицы измерения. Какие виды деформаций они вызывают?

5. Как определяют значения внутренних силовых факторов и знак (плюс или минус)? Запишите расчетные зависимости.

6. Что такое эпюры? Ознакомьтесь с методикой построения и оформления эпюр внутренних силовых факторов.

7. Решите задачу. На рис. 3.4 изображена балка на двух шарнирных опорах В и D. Известны: активные нагрузки Н, Н, Нм и реакции опор Н, Н; размер м.

Рис. 3.4

Определите значения поперечных сил и изгибающих моментов и постройте эпюры.

Ответ: Н, Н, Н, Нм, Нм, Нм, .

8. На рисунках показаны примеры построения эпюр продольных сил N (рис. 3.5), крутящих моментов M_X (рис. 3.6), поперечных сил Q и изгибающих моментов М (рис. 3.7).

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Рис. 3.7

Проверьте правильность построения эпюр, решив задачи в соответствии с примером п. 3.4 и используя положение о том, что скачки на эпюрах имеют место в сечениях, где приложены сосредоточенные нагрузки, а их величина равна величине соответствующей нагрузки (силы или момента сил).

4.НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
И РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

4.1. Понятие о напряжениях и деформациях.
Закон Гука

Внутренние усилия возникают в каждой точке рассматриваемого сечения и распределяются по всей его площади. Интенсивность внутренних усилий в данной точке сечения называется напряжением и измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади: 1 Н/мм² = 1 МПа. Напряжения, действующие по нормали к поверхности сечения, называются нормальными напряжениями и обозначаются s. Напряжения, действующие в плоскости сечения, называются касательными напряжениям и обозначаются t.

Связь внутренних силовых факторов с напряжением может быть выражена в виде шести интегральных зависимостей:

где dA – площадь бесконечно малого элемента сечения; y и z – координаты выделенного элемента сечения.

Анализ интегральных зависимостей показывает, что при растяжении, сжатии или изгибе в сечении действуют нормальные напряжения s, а при сдвиге или кручении – касательные напряжения t.

Действие эксплуатационных нагрузок приводит к изменению формы и размеров элементов конструкции. Эти изменения называют деформацией.

Деформация, исчезающая после снятия нагрузки, называется упругой, а неисчезающая деформация называется остаточной, или пластической.

Перемещение сечений вдоль прямой линии называется линейной деформацией, а поворот сечений – угловой деформацией.

Изменение линейного размера (рис. 4.2) характеризуется абсолютной деформацией (измеряется в мм) и относительной деформацией (величина безразмерная).

 

 

Рис. 4.2 Рис. 4.3

 

Изменение формы (рис. 4.3) характеризуется абсолютной сдвиговой деформацией и относительной угловой деформацией (углом сдвига) .

Английским ученым Р. Гуком была установлена линейная зависимость между напряжениями и деформациями, обусловленная упругими свойствами материалов. Закон Гука имеет вид:

; ,

где E и G – коэффициенты пропорциональности, являющиеся физическими константами материалов: Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга); G – модуль сдвига.

 

4.2. Простые виды деформаций.
Основные характеристики и расчетные зависимости

Все разнообразие форм элементов конструкций можно разделить на четыре типа: стержни, пластины, оболочки и пространственные тела.

Рассмотрим их напряженно-деформированное состояние на примере стержней в случаях, когда в поперечном (перпендикулярном оси) сечении действует только один из шести внутренних силовых факторов.

Растяжение-сжатие. Деформация, при которой в поперечных сечениях стержня действует только продольная растягивающая или сжимающая сила (рис. 4.4), называется растяжением или сжатием.

 

 

Рис. 4.4

 

Продольная сила N, приложенная в центре тяжести сечения, является равнодействующей нормальных напряжений s, равномерно распределенных по сечению и рассчитываемых по зависимости

,

где А – площадь поперечного сечения.

Растягивающие напряжения считаются положительными (+s), а сжимающие – отрицательными (-s).

Сдвиг (срез). Деформация, при которой в поперечных сечениях стержня действует только поперечная (перерезывающая) сила (рис. 4.5), называется сдвигом. Поперечная сила Q действует в плоскости сечения и является равнодействующей касательных напряжений t, равномерно распределенных по сечению и рассчитываемых по зависимости

Рис.22

,

где А – площадь поперечного сечения.

 

Кручение. Деформация, при которой в поперечных сечениях стержня действует только крутящий момент (рис. 4.6), называется кручением.

Крутящий момент M_X действует в плоскости сечения и является равнодействующим моментов касательных напряжений t относительно продольной оси стержня.

Деформация кручения имеет сдвиговый характер и является результатом взаимного поворота поперечных сечений. При этом касательные напряжения распределяются по линейному закону: равны нулю в центре сечения и достигают максимума на его внешнем контуре. Наибольшее значение напряжений в сечении рассчитывают по зависимости

,

где W_p – полярный момент сопротивления сечения. При действии на стержень постоянного по величине момента Т расчетная зависимость имеет вид

.

Изгиб. Деформация, при которой в поперечных сечениях стержня действует только изгибающий момент (рис. 4.7), называется чистым изгибом.

Рис. 4.7

Изгибающий момент М является результирующим моментов нормальных напряжений s относительно поперечных осей Y или Z. Деформация изгиба связана с искривлением оси стержня без изменения ее длины. Выпуклая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а вогнутая – сжатия. При этом нормальные напряжения распределяются по сечению пропорционально расстоянию от нейтральной оси в плоскости изгиба: равны нулю в центре сечения и достигают максимума на выпуклой (+s) и вогнутой (-s) поверхностях.

Наибольшее значение напряжений в сечении рассчитывают по зависимости

,

где W – осевой момент сопротивления сечения.

Расчетные зависимости геометрических характеристик различных форм сечений представлены в справочной литературе. Для круглых сечений диаметра расчетные зависимости имеют вид:

; ; .

Связь внутренних силовых факторов с деформациями и напряжениями для наглядности можно представить в виде схемы (рис. 4.8).

 

 

Рис. 4.8

4.3. Сложное сопротивление. Поперечный изгиб,
изгиб с растяжением, изгиб с кручением

Сложное сопротивление имеет место в тех случаях, когда в поперечных сечениях нагруженного стержня одновременно действуют несколько внутренних силовых факторов. В расчетах используется принципсуперпозиции – принцип независимости действия сил, согласно которому результат действия группы сил на тело равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности и не зависит от последовательности нагружения. Таким образом, определяют значения напряжений от каждого силового фактора отдельно, устанавливают наиболее нагруженные сечения и точки, которые проверяют по условиям прочности.

При этом напряжения одного вида (только нормальные или только касательные) суммируются алгебраически. Напряжения разного вида (нормальные и касательные) приводят к одному виду – нормальным напряжениям, эквивалентным по своему воздействию.

Рассмотрим некоторые из этих случаев.

Поперечный изгиб (рис. 4.9). Под действием силы F в поперечных сечениях стержня возникают одновременно поперечная сила и изгибающий момент , а следовательно, касательные t и нормальные s напряжения.

Практикой установлено, что в большинстве реальных случаев поперечного изгиба влияние касательных напряжений на прочность стержня незначительно по сравнению с влиянием нормальных напряжений и в расчетах не учитывается. В связи с этим все расчетные зависимости, полученные для случая чистого изгиба, могут быть использованы и для случая поперечного изгиба.

Например, наибольшее значение напряжений рассчитывают по зависимости

.

Изгиб с растяжением (сжатием) (рис. 4.10). Под действием силы F в поперечных сечениях консольного стержня возникают одновременно нормальная сила , поперечная сила и изгибающий момент .

 

 

Рис. 4.10

 

Рис.27

Если пренебречь действием касательных напряжений от поперечных сил, то напряжения в любой точке поперечного сечения стержня будут нормальными, а наибольшие напряжения для осесимметричных сечений определяют по формуле

.

Значения нормальной силы и изгибающих моментов рассчитывают с учетом правила знаков.

Изгиб с кручением (рис. 4.11). Такой вид сложного сопротивления характерен для валов механизмов, представляющих собой круглые стержни.

Рассмотрим круглый стержень, нагруженный поперечной силой , вращающим моментом и изгибающим моментом . В любой точке поперечного сечения будут действовать одновременно нормальные s и касательные t напряжения.

Максимальные нормальные напряжения изгиба рассчитывают по зависимости

.

Пренебрегая действием касательных напряжений от поперечных сил, максимальные значения касательных напряжений от кручения рассчитывают по зависимости

.

Эквивалентные напряжения рассчитывают по одной из теорий прочности:

или .

Для круглых стержней расчетная зависимость может быть представлена в виде

,

где – приведенный момент, действие которого эквивалентно совместному действию изгибающего М и крутящего Т моментов; d – диаметр поперечного сечения.

4.4. Рациональная форма сечений

Рациональная форма сечения обеспечивает прочность конструкции при минимальной площади сечения, а следовательно, минимальный вес и расход материалов.

Рациональная форма сечения определяется характером распределения напряжений в поперечном сечении при различных видах деформаций.

Так, при растяжении, сжатии и сдвиге напряжения распределяются по сечению равномерно, а их величина пропорциональна площади сечения и не зависит от формы сечения.

При кручении и изгибе напряжения по сечению распределяются неравномерно, а их величина изменяется от нуля до максимума. В этих случаях рациональной будет такая форма, при которой материал располагается в наиболее нагруженных участках сечения.

В связи с этим металлургическими предприятиями выпускается стандартный профильный прокат: труба, двутавр, швеллер, уголок (рис. 4.12).

При кручении наиболее рациональным является кольцевое сечение (рис. 4.12, а), т.к. максимальные касательные напряжения действуют в периферийной части сечения.

При изгибе идеальным является сечение, состоящее из двух узких прямоугольников, связанных между собой.

Из стандартных профилей наиболее близко к идеальному является двутавровое сечение (рис. 4.12, б).

Рис. 4.12

Следует отметить, что кроме формы сечения большое значение имеет его расположение по отношению к силовой плоскости изгиба. Для вертикальной силовой плоскости более рациональное расположение имеют профили, изображенные на рис. 4.12, б, в, г, а для горизонтальной силовой плоскости – на рис. 4.12, д, е.

Контрольные вопросы

1. Что такое напряжение? В чем состоит различие между нормальными и касательными напряжениями? Как они обозначаются? Укажите единицу измерения напряжения.

2. Что такое деформация? В чем различие между упругой и пластической (остаточной) деформациями? Какие деформации называют линейными, угловыми, абсолютными, относительными?

3. Сформулируйте и запишите закон Гука. Какие величины он связывает?

4. Назовите простые виды деформаций. Какие напряжения им соответствуют? Запишите расчетные зависимости, назовите входящие в них величины и единицы их измерений.

5. Как распределяются напряжения в поперечном сечении нагруженного стержня при простых видах деформаций? Изобразите характерные эпюры напряжений.

6. В каких случаях имеет место сложное сопротивление? Сформулируйте принцип суперпозиции. Какие напряжения возникают при поперечном изгибе, изгибе с кручением, изгибе с растяжением? В каких случаях рассчитывают эквивалентные напряжения?

7. Назовите рациональные формы поперечного сечения стержня при кручении, изгибе.

5. МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
И УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ

5.1. Механические свойства материалов
при статических нагрузках. Испытания
при растяжении. Диаграмма растяжения

Работоспособность конструкционных материалов в условиях статического нагружения определяется их механическими характеристиками, которые получают в процессе механических испытаний материалов. По виду деформации образцов различают испытания на растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, изгиб, а также на твердость и сложное сопротивление. Одним из основных видов испытаний является испытание на растяжение, которое при относительной простоте дает достаточно полную информацию о свойствах материалов.