I. Тоеретическое введение.

Маятник Максвелла – массивный диск, подвешенный на двух нитях, обмотанных на оси диска. Движение диска относится к случаю плоского движения, т.е. к движению тела, не имеющего закрепленных точек.

Движение центра тяжести диска определяется уравнением

m(dV/dt)=∑ F

где V - скорость центра тяжести,

∑ F - сумма внешних сил действующих на диск.

Для составления уравнения моментов выберем ось моментов, жестко связанную с диском, движущимся с ускорением. Система отсчета которая движется с ускорением будет неинерциональной, в ней действуют силы инерции. Выберем ось, проходящую через центр тяжести и движущуюся поступательно, относительно этой оси моменты силы инерции будут равны нулю, поэтому уравнение моментов имеет такой же вид, как и для неподвижных осей.

J=(dω /dt)=M

где J - момент инерции относительно геометрической оси,

M- момент внешних сил относительно той же оси.

å = - угловое ускорение.

Уравнение (1) определяет скорость поступательного движения, а уравнение (2) скорость вращательного движения.

Применим уравнение движения к движению маятника Максвела (рис.1).

На диске массы m действует сила тяжести m и натяжения нити.

Ускорение центра тяжести диска определяется уравнением

ma = mg – F (3)

Момент силы тяжести относительно оси

проходящей через центр тяжести равен нулю, а момент

силы натяжения нити.

M = Fr

Уравнение моментов имеет вид:

J*(dw / dt) = F * r (4)

Центр тяжести диска, опускается настолько, насколько раскручивается нить.

Дойдя до нижнего положения, когда нить полностью раскрутилась, диск снова начнет подниматься вверх с той начальной скоростью, которой он достиг в нижней точке. Ускорение его будет прежнее и по прежнему будет направлено вниз.

Движение всякой точки диска можно представить как поступательное движение со скоростью V, равной скорости центра тяжести, и вращение вокруг геометрической оси с угловой скоростью.

Полностью скорость любой точки получим, прибавив к линейной скорости вращения V = wr₁ скорость поступательного движения V. В точке А, где нить определяется от оси, эта полная скорость равна нулю. Через эту точку проходит мгновенная ось диска.

Подсчитаем кинетическую энергию диска. Если рассматривать движение тела как вращение вокруг мгновенной оси, то элемент массы D m имеет в данный момент времени линейную скорость V= wr, где r – расстояние от этого элемента до мгновенной оси. Кинетическая энергия отдельного элемента тела будет:

∆ Ki=(1/2) ∆ mVi²=(1/2) ∆ mri²ω ²

а кинетическая энергия всего диска

K=∑ ∆ Ki=(ω ² / 2)∑ ∆ miri²=(1/2)Jiω ² (5)

где J – момент инерции диска относительно мгновенной оси.

По теореме Штейнера J =J₁+m r₀

где r– расстояние от мгновенной оси до центра тяжести,

J₁ – момент инерции тела относительно центра тяжести.

Поэтому уравнение (5) имеет вид:

K = (1/2) m r₀² + (1/2)J₁ w²

Заменив в этом уравнении r w = V, получим

K = (m v² / 2) + (J₁ w² / 2) (6)

Полная кинетическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме

кинетической энергии вращения вокруг оси проходящей через центр

тяжести и кинетической энергии поступательного движения.

Если не учитывать силы трения между нитью и осью, к движению маятника

Максвелла можно применять закон сохранения энергии

m g h = (mV² / 2) + (J₁w² / 2) (7)

и вычислить момент инерции диска

J = ((m g h – (m V² / 2)) * 2) / w²

Учитывая, что

w = (V / r); V = a t; a = (2 h / t²), получим

J = 1/4 m D² (g t² / 2 h – 1) (8)

где J – момент инерции маятника в (кг м²);

D – внешний диаметр оси маятника вмести с намотанной на нее нитью подвески в (м);

t – время падения маятника в (с);

g – ускорение свободного падения;

h – длина маятника, равная высоте, на которую она поднимается в (м);

m – масса маятника вместе с кольцом в (кг).

Причем масса m определяется по формуле:

m = m_o + m_k + m_p

где m_o – масса оси маятника;

m_k - масса наложенного на ролик кольца;

m_p – масса ролика.

Внешний диаметр оси маятника, вместе с намотанной на ней нитью подвески определяется по формуле:

D = Do + 2Dn

где D_o – диаметр оси маятника;

D_n - диаметр оси подвески.