Обернена матриця

Для даної квадратної матриці вводяться поняття оберненої матриці. Її позначають символом .

Матриця (якщо вона існує) називається оберненою по відношенню до даної матриці , якщо

,

де - одинична матриця того ж порядку, що й .

Теорема. Для даної матриці обернена матриця є єдиною, якщо вона існує.

Д о в е д е н н я. Справді, якщо для матриці існує ще одна матриця , обернена по відношенню до , то . Звідси випливає, що . Цю останню рівність помножимо справа на . Тоді матимемо

,

тобто матриця збіглася з . Теорему доведено.

Теорема. Всяка неособлива квадратна матриця має обернену матрицю.

Д о в е д е н н я. Нехай неособлива матриця і - так звана приєднана (союзна) матриця по відношенню до матриці , тобто , де - алгебраїчні доповнення до елементів матриці .

Розглянемо

;

Отже,

,

тобто матриця обернена. Теорема доведена.

Звертаємо увагу читача на закон складання оберненої матриці.

Щоб одержати матрицю , потрібно:

1) транспонувати матрицю ;

2) кожний елемент матриці замінити відповідним алгебраїчним доповненням;

3) обчислити визначник матриці ;

4) кожний елемент добутої в п.2 матриці поділити на .

Приклад 1. Довести, що .

Д о в е д е н н я. Очевидно, що . Помножимо ліву і праву частини останньої рівності на зліва, тобто

Знову останню рівність помножимо на зліва, тобто

,

що і треба було довести.

Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці

Р о з в ’ я з о к. Транспонуємо матрицю :

Обчислимо алгебраїчні доповнення до елементів матриці :

Обчислимо визначник матриці (або ):

Тепер, об’єднавши пп..2 і 4, запишемо

Перевірка:

Отже, обернена матриця знайдена вірно.

Дійсна квадратична матриця називається ортогональною, якщо виконується умова

.

Приклад 3. Довести, що , якщо - ортогональна матриця.

Д о в е д е н н я. Із умови ортогональної матриці одержуємо

Із правила множення матриць випливає, що це множення виконується точно так само, як і множення визначників. Тому

.

Звідси , що і треба було довести.