Ранг матриці

Визначення мінору го порядку матриці дано в п.1.1. Розглянемо матрицю

Означення. Базисним мінором матриці називається мінор порядку якщо він відмінний від нуля, а всі мінори го порядку дорівнюють нулю або мінорів го взагалі немає, тобто співпадає з меншим із чисел або

Очевидно, що в матриці може бути декілька різних базисних мінорів. Всі базисні мінори мають один і той же порядок. Дійсно, якщо всі мінори го порядку дорівнюють нулю, то і всі мінори го, а, значить, і всіх вищих порядків дорівнюють нулю. Це стає ясним, якщо застосувати означення детермінанта до якого-небудь мінору го порядку (всі доповнюючі мінори елементів його першого рядка є мінорами го порядку матриці а тому рівні нулю).

Рядки і стовпчики, на перетині яких розташований базисний мінор, назвемо базисними рядками і стовпчиками.

Означення. Рангом матриці називається порядок базисного мінору, або, інакше, найбільший порядок, для якого існують відмінні від нуля мінори.

Нульова матриця має ранг, що дорівнює нулю.

Ранг матриці позначатимемо

Перебирати всі мінори в пошуках базисного, якщо розміри матриці немалі, - задача, що пов’язана з великими обчисленнями. Але ми можемо користуватися таким правилом: якщо ми знайшли деякий мінор го порядку, що відмінний від нуля, то не потрібно шукати серед всіх мінорів го порядку той, який відмінний від нуля, а тільки ті мінори го порядку, що обрамляють мінор го порядку, тобто ті, які містять даний мінор го порядку.

Ми приведемо без доведення деякі теореми, що будуть використовуватися надалі.

Теорема 1. В довільній матриці кожний рядок є лінійною комбінацією базисних рядків, а кожний стовпчик – лінійною комбінацією базисних стовпчиків.

Теорема 2. Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпчиків) в цій матриці.