Моделирование одноканальной системы массового обслуживания.

Рассмотрим наиболее простой случай применения теории массового обслуживания в моделировании:

– поток заявок простейший и определяется интенсивностью их поступления l;

– поток обслуживания заявок тоже простейший, интенсивность обслуживания – m.

Поскольку потоки поступления заявок и их обслуживания простейшие, за достаточно малое время Dt в систему может поступить только одна заявка и покинуть систему тоже может только одна заявка.

За время Dt с вероятностью l× Dt поступит одна заявка и с вероятностью m× Dt очередная заявка будет обслужена. Очевидно с вероятностью 1 -l× Dt ни одна заявка в систему не поступит и с вероятностью 1 -m× Dt ни одна заявка не будет обслужена.

Обозначим через Р_n (t) вероятность того, что в момент времени t в системе будет ровно n заявок. Рассчитаем вероятность того, что в момент времени t+Dt в системе окажется ровно n заявок. Возможны четыре ситуации, приводящие к этому исходу:

– в момент времени t в системе было n -1 заявок, за время Dt поступила одна заявка и ни одна не была обслужена. Вероятность этого события равна: P_n-1(t)× l× Dt× (1-m× Dt);

– в момент времени t в системе n заявок, ни одна не поступила и ни одна не обслужена: P_n(t)× (1-l× Dt)× (1-m× Dt);

– в момент времени t в системе n заявок, одна поступила и одна обслужена: P_n(t)× l× Dt× m× Dt;

– в момент времени t в системе n=1 заявка, ни одна не поступила, одна обслужена: P_n+1(t)× (1-l× Dt)× m× Dt;

Вероятность того, что в момент времени t+Dt в системе останется ровно n заявок, равна сумме указанных выше вероятностей:

P_n(t+Dt)=P_n-1(t)× l× Dt(1-m× Dt)+ P_n(t)× (1-l× Dt)× (1-m× Dt)+

+ P_n(t)× l× Dt× m× Dt+ P_n+1(t)× (1-l× Dt)× m× Dt.

Раскроем скобки, исключим слагаемые, в которых содержится Dt в квадрате (величины второй степени малости), перенесём влево P_n(t) и разделим левую и правую части на Dt.

Устремив Dt к нулю, получим следующее дифференциальное уравнение:

Это уравнение описывает все возможные ситуации, кроме случаев, когда n= 0.

Возможны два независимых случая, когда в момент времени t+Dt в системе нет заявок:

– в момент времени t в системе нет заявок, за время Dt они не поступали. Вероятность этого события равна: P₀(t)× (1-l× Dt);

– в момент времени t в системе одна заявка, она обслужена, другие заявки не поступали: P₁(t)× (1-l× Dt)× m× Dt.

Следовательно, P₀(t+Dt)= P₀(t)× (1-l× Dt)+ P₁(t)× (1-l× Dt)× m× Dt.

Выполнив такие же аналогичные преобразования, получим второе уравнение:

В установившемся режиме вероятности P_n(t) не зависят от времени, поэтому их производные по времени равны нулю. В результате этого получим систему алгебраических уравнений:

-P₀× l+P₁× m=0, n=0,

P_n-1× l - P_n(l+m) + P_n+1× m, n> 0.

Введём обозначение: r=l¤m. Из первого уравнения получим P₁=r× P₀.

Пусть n= 1, тогда второе уравнение примет вид:

Преобразовав его, получим P₂=P₀× r ². Приняв n= 2, получим P₃=P₀× r ³. Постепенно увеличивая n, получим P_n=P₀× r ⁿ.

Поскольку P_n= 1, получим P_n= P₀ r ⁿ= 1. Поскольку r< 1, под знаком суммы находится геометрическая прогрессия, её сумма равна 1/(1-r). В результате этого получим: P₀=1-r, P_n=rⁿ(1- r).

Определим перечисленные выше характеристики системы:

– вероятность занятости канала (доля времени, в течение которого канал занят) – Р_ож=1-Р₀ =r;

– вероятность наличия очереди (n> 0) равна Р _{n> 0} = 1 – Р₀ – Р₁ = r ²;

– среднее число заявок, находящихся в системе:

n_ср= nP_n= (1-r) nrⁿ=(1-r)r nr^n-1=(1-r) r ( rⁿ)¢ =

=(1-r)r (1 / (1-r))¢ = r /(1-r).

Обратите внимание на то, что после выноса r за знак суммы, под знаком суммы оказалась производная от rⁿ;

– среднее число заявок, ожидающих обслуживания (длинна очереди), равно n_ож= n_ср - 1;

– среднее время нахождения заявки в системе (ожидающих в очереди и обслуживаемых) – T_ср=n_ср/m;

– среднее время ожидания обслуживания – Т_ож= Т_ср-1 / m.