Прямая на плоскости

Известно несколько фактов, которые могут быть прияты за определение прямой. Например: а) через заданную точку в заданном же направлении можно провести только одну прямую, б) через любые две точки проходит единственная прямая и так далее.

Задачей этого параграфа является получение уравнения прямой, отражающего одно из основных ее свойств. Это позволит вместо изучений самих прямых как геометрических объектов работать с их уравнениями. Например, можно построением установить, пересекаются ли прямые, определить точку их пересечения, если она существует. Можно, записав уравнения каждой из заданных прямых, исследовать систему этих уравнений. Решение системы уравнений, очевидно, дает точку пересечения прямых. Этот второй прием (аналитическое решение задачи) позволяет избежать погрешностей, неизбежных при решении этой задачи построением.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точу,

в заданном направлении

В декартовой системе координат задана точка и вектор , единичный вектор направлен вдоль оси , вектор действует в направлении оси . Требуется записать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору . Выберем произвольную точку плоскости и потребуем, чтобы она также принадлежала искомой прямой. Тогда начальная и конечная точки, а, следовательно, и сам вектор принадлежат прямой. Но искомая прямая должна быть параллельна вектору , значит . Условием коллинеарности этих векторов является

.

Отсюда имеем

.

Но , где угол наклона вектора , к оси . Назовем угловым коэффициентом прямой, ясно, что угол между прямой (вектором ) и осью .

Итак, координаты точки удовлетворяют уравнению

прямой, проходящей через точку параллельно вектору , точка - есть произвольная точка прямой.

Замечание. Полученное уравнение не существует при , следовательно, его можно использовать только как уравнение горизонтальных и наклонных прямых. Нельзя пользоваться им, если прямые параллельны оси ординат.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Заданы точки и , принадлежащие прямой. Возьмем произвольную точку прямой , тогда векторы

и принадлежат прямой, следовательно, коллинеарны. Запишем условие коллинеарности

.

Это – уравнение прямой, проходящей через две указанные точки.

Замечание. Вообще говоря, уравнение невозможно использовать, если или (деление на нуль), то есть для прямых, параллельных оси или . Это значительно сужает область его применимости. Чтобы расширить область применения этого уравнения, договорились только в этом уравнении не считать невозможным появление нуля в знаменателе. И трактовать это следующим образом

Считать, что из уравнения следует , то есть уравнение прямой, параллельной оси . Это не противоречит сути задачи, поскольку при точки , лежат на этой прямой.

Уравнение соответствует уравнению прямой, параллельной оси .

Отметим, что не рассматривается, так как не является уравнением прямой.

После этой договоренности уравнение можно использовать для любой плоской прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Решим уравнение прямой, проходящей через заданную точку относительно и обозначим , в результате получаем уравнение

.

Это уравнение содержит минимальное количество параметров - два (). Чтобы построить прямую, проходящую через заданную точку, необходимо задать три параметра – координаты точки и угловой коэффициент . Для построения прямой, проходящей через две заданные точки, необходимо задать четыре параметра .

Остается выяснить геометрический смысл параметра . Положив в уравнении , получаем , следовательно, точка есть точка пересечения прямой с осью . Так при прямая пересекает ось выше начала координат, при точка пересечения – ниже начала координат. При имеем уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Общее уравнение прямой. Классификация прямых.

Анализируя три полученных уравнения, устанавливаем, что все они являются уравнениями первого порядка. Возникает вопрос, все ли прямые, как геометрические объекты, имеют уравнения первого порядка и каждое ли уравнение первого порядка соответствует прямой и только прямой?

Рассмотрим самый общий вид уравнения первого порядка относительно двух неизвестных

.

Исследуем возможные варианты. Пусть , тогда . Обозначив , получаем , то есть уравнение прямой, наклоненной к оси под углом и пересекающей ось в точке . Итак, при имеем множество горизонтальных и наклонных прямых (кроме прямых, параллельных оси ). Пусть , тогда , причем , иначе , и уравнение " исчезло". Очевидно, . Но это уравнение соответствует прямым, параллельным оси . Таким образом, доказано, что уравнению (7.8) соответствует все множество плоских прямых.

Рассмотрим, каким прямым соответствует общее уравнение прямой (7.8)?

1. При уравнение имеет вид , которое соответствует всем прямым, параллельным оси . Уравнения, в которых отсутствует , являются уравнениями прямых, параллельных оси .

2. При уравнение имеет вид , которое соответствует всем прямым, параллельным оси . Уравнения, в которых отсутствует , являются уравнениями прямых, параллельных оси .

3.При уравнение имеет вид , оно соответствует прямым, проходящим через начало координат.

4. При имеем уравнение , или - это уравнение оси (параллельно оси и проходит через начало координат).

5. При имеем то есть уравнение оси .

Точка пересечения двух прямых

Решение данной задачи, очевидно, возможно построением. Здесь демонстрируется аналитическое ее решение. Пусть даны уравнения двух прямых

и . Необходимо найти координаты общей точки этих прямых. Для этого нужно решить систему уравнений

.

Применим метод Крамера. Если основной определитель системы , система имеет единственное решение

,

причем формулы Крамера дают координаты этой точки.

Если , а или , система несовместна (прямые параллельны).

Если все три определителя равны нулю, система имеет бесчисленное множество решений (прямые совпали).

Замечание. Эту же задачу можно решить в иной постановке, решив систему уравнений и . Для ее решения достаточно приравнять правые части этих уравнений.

Угол между прямыми, условие их параллельности и перпендикулярности

Прямые заданы уравнениями и , причем угловые их коэффициенты не равны нулю, то есть ни одна из них не параллельна оси абсцисс. Пусть , где и углы между прямыми и осью . Тогда угол между прямыми определяется формулой , следовательно, , но . Искомая формула принимает вид

.

Замечание. Формула " несимметрична", она определяет угол между первой и второй прямыми. Чтобы определить смежный угол между прямыми (угол между второй и первой прямыми), в формуле следует поменять местами и . При этом следует помнить, что положительное направление отсчета угла – против часовой стрелки.

Если прямые параллельны, то , следовательно, условие параллельности прямых .

Условие перпендикулярности прямых , откуда следует . Для доказательства этих условий запишем . Угол между перпендикулярными прямыми , тогда , откуда имеем .

Замечание. В более простых случаях, когда одна из прямых параллельна либо оси абсцисс, либо оси ординат, следует применять формулу .

Нормальное уравнение прямой

Пусть прямая перпендикулярна единичному вектору , где угол наклона вектора к оси , кратчайшее расстояние от начала координат до прямой . Точка основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Пусть произвольная точка прямой. Тогда , .

Рисунок 11.

Вычислим скалярное произведение , с другой стороны , здесь угол между перемножаемыми векторами. Сравнивая полученные соотношения, имеем , откуда следует нормальное уравнение прямой

.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду

Имеем . Умножаем уравнение на . Тогда . Требуем, чтобы , тогда , откуда имеем

. Итак,

.

Выбираем знак так, чтобы свободный член уравнения был отрицательным, то есть при берем знак , при берется . Уравнение стало нормальным.

Пример.

Привести к нормальному виду уравнение . Вычислим . Поскольку , берем знак , нормальное уравнение имеет вид .

Кратчайшее расстояние от точки до прямой

Задача А) Дано уравнение прямой и точка . Определить кратчайшее расстояние от этой точки до прямой.

Опустим перпендикуляр из начала координат на прямую, как это делалось при выводе нормального уравнения прямой, точка основание перпендикуляра. Опустим на прямую перпендикуляр из точки , основанием этого перпендикуляра пусть будет точка . Очевидно, векторы и коллинеарны. Обозначив кратчайшее расстояние от точки до прямой , получаем , знак берется, если векторы и сонаправлены, и в случае противоположно направленных векторов. Из треугольника следует

Рисунок 12.

Вычислим скалярное произведение

.

В то же время

, а , тогда , откуда следует формула

.

Задача В). Дано общее уравнение прямой и точка . Приводим уравнение к нормальному виду

и используем только что полученную формулу для кратчайшего расстояния

.

Приведем ее к более компактному виду

.

Таким образом, получены формулы кратчайшего расстояния от точки до прямой для нормального и общего ее уравнений.

Примеры.

1. Найти кратчайшее расстояние от точки до прямой .

Уравнение прямой – нормальное, что легко проверяется. Кратчайшее расстояние определяется, если в левую часть нормального уравнения вместо переменных подставить координаты точки

.

2. Найти кратчайшее расстояние от точки до прямой .

, тогда .

Нетрудно заметить, что результаты, полученные по обеим формулам, совпадают.