Кривые второго порядка. В предыдущем разделе было установлено, что уравнению первой степени соответствует одна из плоских прямых

В предыдущем разделе было установлено, что уравнению первой степени соответствует одна из плоских прямых. Очевидно, уравнениям более высоких степеней должны соответствовать кривые. Установить это соответствие для уравнения любой степени не представляется возможным из-за бесконечного числа уравнений и кривых. Проведенные исследования показали, что в разделе " Аналитическая геометрия" имеет смысл рассмотреть только уравнение второй степени, поскольку этому уравнению соответствуют только четыре кривые. Исследование уравнений более высоких степеней нецелесообразно. Вместо этого в разделе " Математический анализ" будет предложена схема исследования каждого конкретного уравнения с последующим построением графика функции, соответствующей данному уравнению.

Вначале выведем простейшие (канонические) уравнения каждой из четырех кривых. Затем рассмотрим общее уравнение второй степени и приведение его к каноническому виду.

Окружность

Определение. Окружностью называется множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром окружности.

Построим уравнение, отражающее это свойство окружности. Для этого введем декартову систему координат. Пусть координаты центра окружности, а ее радиус, то есть расстояние от точек окружности до ее центра. Если произвольная точка окружности, имеет место формула

.

Рисунок 13.

После возведения в квадрат обеих частей уравнения получаем уравнение окружности

.

Это уравнение называется общим уравнением окружности, поскольку никаких ограничений на систему координат не накладывалось.

Раскрывая скобки

,

убеждаемся, что в самом общем уравнении окружности не присутствует произведение переменных .

Можно привести это уравнение к наипростейшему виду, потребовав, чтобы начало координат совпадало с центром окружности. Тогда , и уравнение принимает вид

.

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности.

Эллипс

Следующей кривой второго порядка является эллипс. Известно, что его уравнение, хотя и второй степени, но может быть сколь угодно сложным. Поэтому принято выводить его в специально выбранной декартовой системе координат.

Определение. Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Из определения следует, что известны две точки – фокусы эллипса и сумма расстояний от точки эллипса до этих точек . Систему координат выбираем следующим образом. За ось принимаем прямую, проходящую через фокусы эллипса. Начало координат помещаем в середину отрезка , ось направляем перпендикулярно оси .

Рисунок 14.

Поскольку фокальные точки эллипса известны, известно расстояние между ними, обозначим его . Тогда известны координаты фокусов и .

Зададим произвольную точку эллипса . Из определения следует

.

Следующей задачей является избавление от корней. Из полученного уравнения имеем

.

Возведем в квадрат обе части уравнения

и раскроем скобки во всех членах уравнения, кроме последнего

После сокращений имеем

.

Еще раз возводим в квадрат обе части уравнения

.

После сокращения подчеркнутых членов получаем

.

Из треугольника следует, что . В самом деле сумма длин двух сторон треугольника, а длина третьей его стороны. Обозначим , тогда полученное выше уравнение принимает вид

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Поскольку обе переменные во второй степени, эллипс симметричен относительно обеих координат и расположен между точками , и , . Это легко установить, положив в уравнении вначале , затем , то есть определив точки пересечения эллипса с осями координат.

Часто называют горизонтальной и вертикальной осями эллипса, а его полуосями.

Кроме трех параметров, определяющих эллипс, вводят четвертый - эксцентриситет эллипса, определяемый формулой , при этом . При имеем , или , и эллипс превращается в окружность. С ростом эллипс становится все более " приплюснутым", то есть длина его вертикальной оси уменьшается по сравнению с горизонтальной. При имеем , и эллипс превращается в разрез.

Гипербола, асимптоты гиперболы

Определение. Гиперболой называется множество точек, разность между расстояниями от которых до двух заданных точек, называемых фокусами (фокальными точками) гиперболы, постоянна.

Поскольку определения эллипса и гиперболы очень похожи, систему координат выбираем так же. Очевидно, координаты фокусов гиперболы те же. Разность между расстояниями пусть также . Тогда из определения следует формула

.

Проделав аналогичные преобразования, получаем

.

Поскольку разность между длинами двух сторон треугольника меньше длины его третьей стороны . Обозначим или , в результате получаем каноническое уравнение гиперболы

.

Определим из уравнения . Область определение кривой или . График этой гиперболы симметричен относительно обеих осей координат, не пересекает оси и имеет две ветви. Вершины гиперболы расположены в точках и .

Эксцентриситет гиперболы ясно что .

Известно, что гипербола является спрямляемой кривой и имеет асимптоты, то есть пару прямых, с которыми бесконечно сближается кривая при , не пересекаясь с этими прямыми. Покажем, что уравнения асимптот гиперболы . Рассмотрим разность , она определяет расстояние между точками асимптот и кривой при заданном значении . Следует показать, что если , то .

.

Числитель полученной дроби постоянен, а знаменатель стремится к бесконечности, следовательно, дробь стремится к нулю. Итак, расстояние между кривой и парой прямых, задаваемых вышеприведенными уравнениями, стремится к нулю при . По определению это – асимптоты.

Замечание. Полученное уравнение соответствует гиперболе, пересекающей ось , ее ветви идут влево и вправо

Рисунок 15.

уравнение

.

является уравнением гиперболы, ветви которой идут вверх и вниз, вершины ее находятся на оси

Рисунок 16.

Парабола

Определение. Параболой называется множество точек, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой – директрисой параболы.

Установлено, что наипростейшее уравнение последней из четырех кривых второго порядка получается при следующем выборе системы координат. За ось принимается прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно директрисе. Начало координат помещается в середину отрезка между фокусом и основанием перпендикуляра, опущенного на директрису, ось направлена параллельно директрисе. Поскольку фокус и директриса заданы, известно кратчайшее расстояние между ними, обозначим его , тогда координаты фокуса , любой точки директрисы . Расстояние от произвольной точки параболы до директрисы, очевидно, , расстояние до фокуса . Приравнивая квадраты этих величин, имеем . После раскрытия скобок получаем каноническое уравнение рассматриваемой параболы

.

Она симметрична относительно оси , ее вершина в начале координат. Ее график

Рисунок 17.

Уравнение соответствует параболе

Рисунок 18.

соответствует параболе, идущей вверх симметрично оси , парабола направлена вниз

Рисунок 19.

Примеры.

1. Найти точки пересечения окружности с прямой . Решаем систему уравнений

.

.

Общие точки прямой и окружности и .

2. Найти общие точки окружности и эллипса .

Решаем систему уравнений

.

Вычитаем из первого уравнения второе , откуда следует , тогда . Имеем две общие точки и .

3. При каком прямая касается параболы ?

Решение. . Если прямая касается параболы, имеется лишь одна их общая точка, следовательно, дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю. Итак, откуда следует , и .

Общее уравнение второй степени,

приведение его к каноническому виду

Самое полное уравнение второй степени имеет вид

.

В зависимости от значений коэффициентов оно соответствует любой из четырех кривых второго порядка (и не только!). Однако построение графика и даже определение вида кривой по этому уравнению затруднительно, для этой цели лучше всего привести его к каноническому виду.

Как было сказано выше, систему координат нужно задавать специальным образом, причем для каждой кривой свою. Это не удобно. Проще всего от одной декартовой системы координат перейти к другой, используя самые общие формулы перехода, затем нужным образом подобрать значения параметров этого перехода (координаты нового центра и ориентацию новых координат на плоскости).

Замена переменных

Выведем общую формулу перехода от одной декартовой системы координат к другой.

Введем две системы координат – старую с началом в точке O и векторами ортонормированного базиса , направленными вдоль оси и соответственно, и новую с началом в точке и векторами ортонормированного базиса , направленными вдоль осей и .

Пусть угол между осями и равен , координаты начала координат в старой системе координат . Возьмем произвольную точку плоскости с координатами в старой системе и новой .

В дальнейшем нам понадобятся углы между векторами двух базисов и скалярные произведения базисных векторов. Очевидно, угол между и , а также и равен , тогда угол между и равен , угол между и равен .

Подсчитаем скалярные произведения этих векторов. Ясно, что скалярное произведение каждого базисного вектора на самого себя равно 1, скалярное произведение векторов одного базиса равно 0. Остается подсчитать

, ,

, .

Выпишем формулы для радиусов-векторов точек и в старой системе координат , . В то же время в новой системе координат . Поскольку , имеем

.

Умножаем это векторное равенство скалярно сначала на затем на , тогда

,

.

Используя вышеприведенные формулы для скалярных произведений, получаем связь между старыми и новыми координатами

.

Если умножить векторное равенство скалярно сначала на затем на

,

получаем формулы связи между новыми и старыми координатами

или

.

Интересны частные случаи этих формул.

Параллельный перенос системы координат

(перенесение начала координат)

В этом случае , тогда формулы параллельного переноса координат имеют вид

и .

Поворот системы координат при общем начале

Ясно что , тогда

и .

Приведение общего уравнения к каноническому виду

Рассмотрим два случая преобразований.

I. В общем уравнении отсутствует произведение переменных, то есть

.

Это наиболее простой случай. Он оправдан еще тем, что общее уравнение одной из кривых – окружности – не содержит этого слагаемого. В этом случае достаточно параллельного переноса координат. Покажем, как это делается на примерах.

Пример 1. Изобразить кривую

Решение.

. Это окружность с центром в точке и радиусом 5.

Пример 2. Установить вид кривой .

Решение

.

Введем новые координаты . Это соответствует параллельному переносу системы координат. Координаты нового начала . Уравнение кривой имеет вид . Это эллипс.

II. Рассматривается общее уравнение кривой. Возможны два подхода к решению задачи приведения уравнения к каноническому виду. В первом используется общая замена, параметры замены подбираются так, чтобы уравнение стало наипростейшим.

Чаще применяется второй, поэтапный подход. Используя формулы поворота системы координат, добиваемся отсутствия в новом уравнении произведения неизвестных , то есть сводим решение к первой задаче.

Пример 3. Преобразовать к каноническому виду и построить кривую

.

Подставляем в уравнение формулы

Откуда следует

После приведения подобных членов имеем

Используя не заданный пока параметр , потребуем равенства нулю коэффициента при . Очевидно, или . Одним из решений этого уравнения является . Это означает, что в новой системе координат, повернутой относительно старой системы на угол , уравнение не содержит произведения переменных. Подставим в уравнение найденное значение угла или

.

Сделаем еще одну замену переменных , после чего получаем следующее уравнение гиперболы

.

Для построения кривой следует повернуть систему координат на угол и перенести начало в точку .

Замечание. Уравнение второй степени не обязательно соответствует одной из кривых второго порядка. Так, соответствует точке , дает пустое множество, соответствует паре прямых. В самом деле . Две прямые.