Плоскость

Чтобы записать уравнение плоскости, необходимо определить ее ориентацию в пространстве.

Ориентация плоскости задается вектором, перпендикулярным этой плоскости, его называют нормальным вектором плоскости. Очевидно, нормальный вектор определяет ориентацию в пространстве множества параллельных плоскостей. Чтобы записать уравнение одной из этих плоскостей, зададим точку, принадлежащую этой плоскости.

Итак, в ортонормированном базисе задан вектор , то есть , и точка плоскости. Необходимо записать уравнение этой плоскости. Возьмем произвольную точку плоскости , тогда вектор также принадлежит этой плоскости, следовательно, ортогонален нормальному ее вектору, и скалярное их произведение . Используя формулу скалярного произведения, получаем искомое уравнение

.

Раскроем скобки и обозначим , в результате получаем общее уравнение плоскости

.

При этом коэффициенты при неизвестных являются координатами нормального вектора плоскости.

Таким образом, можно сделать заключение (примем его без доказательства), что одно уравнение первой степени в пространстве соответствует некоторой плоскости.

Располагая уравнениями двух плоскостей, можно определить угол между ними как угол между их нормальными векторами.

Даны уравнения двух плоскостей и . Их нормальные векторы , .

Угол между нормальными векторами определяем средствами векторной алгебры

.

Как уже говорилось выше, это и есть угол между плоскостями.

Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей

Если плоскости перпендикулярны , из предыдущей формулы следует, что

.

Если плоскости параллельны, параллельны и их нормальные вектора. Следовательно, условием параллельности плоскостей является

.

Точка пересечения плоскостей

Имеем уравнения трех плоскостей и , . Для нахождения их общей точки – точки пересечения плоскостей – следует решить систему трех уравнений с тремя неизвестными

,

то есть задачу линейной алгебры.

Как известно, если основной определитель системы уравнений не равен нулю, решение системы единственное, и формулы Крамера дают координаты единственной точки пересечения. Если основной определитель системы равен нулю, но один из определителей, содержащих столбец свободных членов, не равен нулю, система не имеет решения (не совместна), то есть все плоскости параллельны. Если все определители третьего порядка расширенной матрицы системы уравнений равны нулю, она имеет бесчисленное множество решений. Либо это множество точек, лежащих на прямой, по которой пересекаются заданные плоскости, либо все плоскости сливаются в одну.

Кратчайшее расстояние от точки до плоскости

Дано общее уравнение плоскости и точка . Требуется найти кратчайшее расстояние от этой точки до плоскости. Вектор - нормальный вектор плоскости. Опустим перпендикуляр из точки на плоскость, основание этого перпендикуляра . Обозначим длину перпендикуляра , это и есть искомое кратчайшее расстояние. Выберем произвольную точку плоскости и соединим точки . Из правила треугольника следует . Умножим это векторное равенство скалярно на вектор . Поскольку векторы и коллинеарны, их скалярное произведение равно , причем при сонаправленных векторах берется знак , при противоположно направленных векторах знак . Скалярное произведение . Поскольку вектор лежит в плоскости, он ортогонален вектору , следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю. Итак после умножения имеем

.

Точка - точка плоскости, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости . Тогда полученное равенство принимает вид , откуда следует, что кратчайшее расстояние определяется формулой

.

Примеры.

1. Найти точку пересечения плоскостей ,

Решаем систему уравнений

,

применяя метод Гаусса.

.

Полученная матрица соответствует системе уравнений

.

Из третьего уравнения следует , из второго , из первого .

2. Определить угол между плоскостями .

.

Прямая

Как уже говорилось выше, любая линия в пространстве определяется как пересечение двух поверхностей, представляя собой множество их общих точек. Очевидно, прямую проще всего представить как множество общих точек двух пересекающихся плоскостей. Общее уравнение прямой, следовательно, имеет вид

.

Удобнее пользоваться другими уравнениями пространственной прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Даны точки , . Через эти точки проходит единственная прямая. Построим ее уравнение, для чего возьмем произвольную точку прямой и рассмотрим векторы и . Они лежат на искомой прямой, следовательно, коллинеарны. Условие их коллинеарности дает искомое уравнение

.

Нетрудно заметить, что это двойное равенство можно записать как

.

Но это уравнение представляет собой пересечение двух плоскостей, то есть не противоречии сказанному выше.

Каноническое уравнение прямой

Если обозначить , то вектор лежит на прямой, о чем было сказано выше, то есть показывает ее направление, а уравнение

,

называемое каноническим уравнением прямой, по сути является уравнением пространственной прямой, проходящей через заданную точку в направлении вектора .

Параметрическое уравнение прямой

Введем обозначение , тогда координаты произвольной точки прямой могут быть записаны следующим образом

.

Это и есть параметрическое уравнение прямой.

Угол между прямыми,

условие их параллельности и перпендикулярности

Зададим прямые их каноническими уравнениями и . Ясно, что угол между прямыми - есть угол между их направляющими векторами и , то есть

.

Условие перпендикулярности прямых следует из условия ортогональности их направляющих векторов, то есть

.

Условие параллельности прямых, очевидно,

.

Примеры

1. Определить угол между прямыми и .

.

2. Привести общее уравнение прямой к нормальному виду.

Одним из способов решения задачи является нахождение двух точек этой прямой. Пусть , тогда имеем систему . Умножаем первое уравнение на 2 и суммируем со вторым, в результате , и . Из первого уравнения следует . Итак, одна из точек . Ищем вторую точку. Пусть , тогда , откуда , а . Вторая точка . Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, приводит к следующему результату

. Ответ .