Прямая и плоскость

В этой теме решаются смешанные задачи геометрии в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Если обозначить угол между прямой и плоскостью , а угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой , очевидно, имеет место связь .

Имея уравнение плоскости и прямой , получаем , откуда следует формула для угла между прямой и плоскостью

.

Отсюда следует условие параллельности прямой и плоскости

,

и условие их перпендикулярности

.

Пересечение прямой с плоскостью

Для решения этой задачи можно использовать общие уравнения прямой

и плоскости , тогда задача сводится к решению системы трех уравнений

.

Можно решить задачу проще, задав прямую параметрически. Имеем

и . Подставляем из уравнения прямой в уравнение плоскости и получаем одно уравнение относительно параметра . Это уравнение может иметь единственное решение, тогда подставляя в уравнение прямой найденное значение параметра, определяем точку пересечения. Уравнение может не иметь решения, тогда прямая параллельна плоскости, наконец, уравнение может иметь бесчисленное множество решений, тогда прямая лежит в плоскости.

Примеры.

1. Определить общие точки прямой и плоскости

а) , .

Приведем уравнение прямой к параметрическому виду

откуда следует . Подставляем эти соотношения в уравнение плоскости . Тогда , , и точка пересечения имеет координаты .

Ответ .

в) , .

Решение. , откуда следует

или . Уравнение не имеет решения. Проверим условие параллельности прямой с плоскостью .

Действительно, прямая параллельна плоскости, следовательно, не имеет с ней общих точек.

с) , .

Решение.

,

откуда следует , и уравнение имеет решение при любых . Прямая лежит в плоскости.

2. Определить угол между прямыми. Пусть прямые заданы следующими уравнениями , . Направляющий вектор второй прямой . Направляющий вектор первой прямой определим следующим образом. Нормальные векторы обеих плоскостей, определяющих прямую, ортогональны своим плоскостям. Направляющий вектор прямой лежит как в одной, так и в другой плоскости, следовательно, он ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Очевидно, его можно определить как векторное произведение нормальных векторов, то есть

,

или , поскольку длина направляющего вектора в этом случае несущественна.

Угол между прямыми определяется по формуле

.

Примеры для самоподготовки.

1. Через точу провести прямую, перпендикулярную плоскости .

2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

3. Записать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые и .