Транспорттық модельдердің жалпы құрамы

х _n1 + х _n2 +...+ х _nm = b _n (3.3)

в) ә рбір жү к жіберетін пункттен ә р тұ тынушығ а таситын жү ктің мө лшері теріс сан болуы мү мкін емес (яғ ни х _іj > 0 - жү к тасу тиімді немесе х _іj = 0 - жү к тасу тиімсіз):

х ₁₁ ³ 0, х ₁₂ ³ 0,... х _nm ³ 0. (3.4)

Сонымен (3.1)... (3.4) жалпы транспорттық есептің кең ейтіл-ген моделі болып есептелінеді.

- сома белгісі арқ ылы транспорттық есептің математи-калық моделін қ ұ рама тү рінде кө рсетейік:

(3.5)

Шектеу шарттары:

(3.6)

(3.7)

х _іj≥ 0, (3.8)

Мына жағ дайда:

(3.9)

яғ ни барлық жү к жіберілетін пункттерде ө ндірілген немесе жинал-ғ ан жү ктің кө лемі толығ ымен тұ тынушылардың сұ раныстарын қ амтамасыздандырады. Мұ ндай транспорттық есеп жабық немесе балансталғ ан деп аталады.

Егер математикалық модельде шарты орындалмаса, мұ ндай транспорттық (тасымалдау) есептерінің моделін ашық немесе балансталмағ ан модель деп атайды.

Транспорттық есептің моделі ашық болғ ан жағ дайда есепті шешу ү шін оны жабық транспорттық есепке айналдырады.

Егер болса, онда жү к артық жиналғ ан, мұ ндай жағ дайда есепті жабу ү шін жалғ ан тұ тынушы (B_n+1) енгізіледі де, оның жү кке сұ раныс мө лшерін мына қ атынаспен есептейді:

b_n+1= Σ a_j – Σ b_і.

Кейбір ә дебиеттерде мұ ндай есептер «Артығ ымен тасымал-дау есебі» немесе «Балансталмағ ан, ашық транспортық есеп» делінеді.

Егер болса, онда ө ндірілген ө нім (жү к) мө лшері тұ тынушылардың сұ раныс мө лшерін толығ ымен қ амтамасыз ет-пейді, мұ ндай жағ дайда есепті жабу ү шін жалғ ан жү к жіберуші пункт (А_m+1) енгізіледі де, ондағ ы жиналғ ан жү к мө лшерін мына қ атынаспен есептейді:

а_m+1 =Σ b_і– Σ a_j.

Жү ктің бір бірлігін тасуғ а кететін шығ ын (жалғ ан тордың бағ асы), яғ ни бірінші жағ дайда: C _{n+1, 1} = 0, C _{n+1, 2}= 0,..., С_{n+1, m}= 0, ал екінші жағ дайда: C _{1, m+1} = 0, C _{2, n+1}= 0,..., С _{n, m+1}= 0-деп алынады.

Қ арастырылып отырғ ан тақ ырыпта жоғ арыдағ ы келтірілген транспорттық есептердің математикалық модельдері аграрлық ө н-еркә сіп кешенінің кө птеген есептерінің математикалық аппарат-тарының негізін қ ұ райтынын атап ө ттік. Мысалғ а, ауыл шаруа-шылығ ында ауыспалы егістік жерлерді оң тайлы жоспарлауда, техниканы ә ртү рлі жұ мысқ а оң тайлы бө луде, ө ндіріс мамандарын ә ртү рлі жұ мысқ а тиімді бекітуде, ө ндіріс орындарын тиімді тү рде орналастыруда, тағ ы басқ а да кө птеген есептерде қ олданылады.

3.2 Транспорттық модельдерді шешу ә дістеріне

қ ысқ аша шолу

Жалпы транспорттық есеп сызық ты программалау есебінің қ ұ рамына енеді. Дегенмен де, сызық ты программалау есептерін ше-шуге арналғ ан компьютерлік программалар пакеттері дамығ анғ а дейін, транспорттық есепті симплекстік ә діспен шешуде, қ осымша іс-ә рекеттер жү ргізуді қ ажет ететін біраз ерекшеліктер кездеседі. Жоғ арыда қ арастырылғ ан сызық ты программалау есептерінің математикалық моделінде белгісіз х -тер тек бір ғ ана j = 1, 2,...n индекспен берілген. Ал тасымалдау (транспорттық) есебінде белгі-сіздер екі индекспен анық талады.

Транспорттық есепті симплекс ә дісімен шешкен кезде екі индексті (ө лшемді) кө рсеткіштер бір индексті кө рсеткіштерге ауыстырылады, мысалы:

х ₁₁= у ₁, х ₁₂= у ₂, х ₁₃= у ₃, х ₁₄= у ₄, х ₂₁= у ₅, х ₂₂= у ₆, жә не т.б.с.с.

с ₁₁= v ₁, c ₁₂= v ₂, c ₁₃= v ₃, c ₁₄= v ₄, c ₂₁= v ₅, c ₂₂= v ₆, жә не т.б.с.с.

Осы ә рекеттердің нә тижесінде транспорттық есептің матема-тикалық моделі жоғ арыдағ ы баяндалғ ан сызық тық программалау есебінің симплекс ә дісімен шығ арылатын тү ріне ауысады. Сө йтіп, есепті шығ ару ү шін симплекс ә дісін қ олдануғ а болады. Бірақ, есеп-тің шарты қ арапайым, ал ізделінетін белгісіздер ө те кө п жә не есепті ешқ андай есептеу техникасынсыз қ олмен симплекс ә дісін қ олда-нып шығ ару ө те ың ғ айсыз.

Осы келтірілген жағ дайларғ а байланысты ғ алымдар транс-порттық есепті шығ арудың симплекс ә дісінен басқ а жолын қ арас-тырды. Қ азіргі кезде транспорттық есептерді шығ аруғ а ө те ың ғ ай-лы кө птеген ә дістер жасалынғ ан. Мысалғ а, ү лестіру (тарату) ә дісі, Венгер ә дісі, потенциал ә дісі, Вогель (Фогель) ә дісі жә не тағ ы басқ а ә дістер тә жірибеде кең інен таралғ ан. Солардың ішінен 1949 жылы Кең естер Одағ ының белгілі математигі, академик Л.В. Кантарович жә не М.К. Гавурин ұ сынғ ан тарату (ү лестіру) ә дісі тә жірибеде кең інен қ олданылады.

Транспорттық есептерді шешуге арналғ ан ә дістердің кө пші-лігі осы есептердің математикалық моделінің мына қ асиеттеріне сү йенеді:

– барлық шектеуші шарттар тек тең дік тү рінде беріледі;

– ә рбір белгісіз тек екі-ақ тең деудің қ ұ рамына енеді;

– шектеуші шарттардағ ы белгісіздердің коэффициенттері бірге тең.

Транспорттық есептерді шешуге арналғ ан барлық ә дістерді қ олданғ анда есепті шешу ә рқ ашанда тірек жоспарын қ ұ рудан басталады (бірінші қ ұ рылғ ан кестені базистік шешім деп атайды). Математикалық программалау пә ніне арналғ ан ә дебиеттерде [12, 13, 15, 16...] тірек жоспарын қ ұ рудың бірнеше тә сілдерін кездестіруге болады. Солардың ішінде ең кө п кездесетіндері:

n солтү стік - батыс бұ рышы ережесі;

n екі есе ұ тымды ережесі;

n жол немесе бағ ана бойынша ең кіші элемент ережесі;

n матрица кестесіндегі ең кіші элемент ережесі;

n Вогель (Фогель) ә дісі.

Осы ережелердің бірімен тірек жоспарын қ ұ рғ анда ә рқ ашан-да толтырылғ ан торлардың саны мына талапқ а дә л болуғ а тиіс:

K_т = m + n –1,

бұ л жағ дай ү лестіру ә дісінің бірінші талабы.

Ү лестіру (тарату) ә дісі. Транспорттық есепті шешуге арнал-ғ ан жә не тірек жоспарын біртіндеп жақ сарту ретін нақ тылы кө рсе-тіп бейнелейтін ең бірінші жасалғ ан ә діс. Ол осы ә дістің негізінде жасалынғ ан МОДИ ә дісін (модификацияланғ ан) оқ ып ү йренуге жақ сы кіріспе болып табылады.

Бірінші кезекте жоғ арыда кө рсетілген ережелердің бірімен тірек жоспары қ ұ рылады. Барлық бос торлар ү шінарнайы тә ртіп-пен жә не ереже бойынша тұ йық циклдар тұ рғ ызылады [12].

Бос торлардың сипаттамалары мына формуламен есептелі-неді:

мұ ндағ ы – циклдың тақ торларының бағ алары (бос тор бірінші тақ тор болып есептелінеді де, ә рі қ арай жұ п, келесісі тақ болып ә рі қ арай цикл бойынша қ айталана береді. Есептеу кез келген бағ ытта немесе цикл бағ ытымен жү ргізіледі);

– циклдың жұ п торларының бағ алары.

Оң тайлы жағ дайдың белгісін тексеру. Егер Z ® mіn, онда барлық бос торлардың сипаттамасы оң сан болса, яғ ни: , базистік шешім оң тайлы делінеді. Егер Z ® max, онда барлық бос торлардың сипаттамасы теріс сан болса, яғ ни: , базистік шешім оң тайлы делінеді.

Егер қ ұ рылғ ан жоспар оң тайлы емес жә не бірнеше теріс сипаттама болса, онда осы сипаттамалардың ең кішісі бойынша цикл қ ұ рылады да, тү рлендіру жү ргізіледі, яғ ни бір рет орнын ауыстыру ә рекеті жасалынады [12, 13, 15].

МОДИ ә дісі (потенциалдар ә дісі). Ү лкен ө лшемді кестелерде транспорттық есептерді ү лестіру (тарату) ә дісімен циклдер қ ұ рып сипаттамаларды есептеу, ө те ың ғ айсыз. Осындай есептерді моди-фикацияланғ ан тарату ә дісімен (МОДИ) шешкенде есептеу технологиясы кө п жең ілденеді. Цикл қ ұ рмай-ақ бос торлардың сипаттамаларын мынадай формуламен есептеуге болады:

D _іj = C_іj – (U_і + V_j),

мұ ндағ ы C_іj – бос торлардың бағ асы;

U_і– кестенің і-жолының потенциалы;

V_j– кестенің j – бағ анасының потенциалы.

Негізінде МОДИ ә дісі ү лестіру (тарату) ә дісімен сә йкес, ал потенциалдар ә дісінен айырмашылығ ы бос тордың сипаттамасын анық тайтын формуланың таң басы ә ртү рлі.

Потенциал деп мына формуламен: C_іj^т = U_і+V_j немесе кейбір ә дебиеттерде C_іj^т =α _і+β _j есептелген кез келген сандар жұ йелерін айтады. Мұ ндағ ы С_іj^т – толтырылғ ан (базистік) тордың бағ асы; U_і сияқ ты α _і - кестенің і-жолының потенциалы; V_j сияқ ты β _j – кестенің j – бағ анасының потенциалы.

МОДИ ә дісі бойынша бірінші кезектеалғ ашқ ы тіректік шешім жоғ арыдағ ы айтылғ ан ережелердің бірімен қ ұ рылғ аннан кейін жоғ арыда келтірілген формула (C_іj ^т =U_і+V_j) бойынша базистік (толтырылғ ан) тордың жолының - U_і жә не бағ анасының - V_j потен-циалдары анық талынады. Бірінші жолдың потенциалы U ₁ = 0-ге тең деп алынады. Бос торлардың сипаттамаларын мына формула-мен есептейді: D_іj = C_іj – (U_і + V_j). Келесі жасалатын ә рекеттер ү лестіру (тарату) ә дісімен бірдей.

Дифференциалдық ренталар ә дісі. Егер потенциалдар ә дісі-мен транспорттық есептің оң тайлы жоспарын анық тау ү шін ең бірінші оның тірек жоспарын қ ұ рып, одан кейін ол біртіндеп жақ -сартылса, ал дифференциалдық ренталар ә дісімен ең бірінші тасымалданатын жү ктің негізгі бө лігі ең тиімді тү рде бө лінеді де (мұ ндай ә рекет шартты-оң тайлы бө лу делінеді), осыдан кейін келесі итерацияларда (ә рекеттерді қ айтадан қ айталау) жү ктің бө -лінбей қ алғ ан бө ліктері біртіндеп бө лініп, аяғ ында тиімді оң тайлы жоспар қ ұ рылады.

Венгер ә дісі. Бұ л ә дістің негізгі идеясы: жол (бағ ана) бірдей шамағ а d_j (d_і) ө згергенде (кө бейсе немесе кемісе) есептің оң тайлы жағ дайы ешқ андай ө згеріске ұ шырамайды.

Қ азіргі кезде тірек жоспарын қ ұ рғ анда бірден немесе оң тайлы шешімге ө те жақ ын базистік шешімді қ ұ руғ а мү мкіндік беретін бірнеше ә дістер белгілі. Солардың бірі аппроксимация (аппроксимация ағ ылшын сө зі – тү зету, жақ ындасу деген ұ ғ ымды білдіреді) ә дісі немесе оны У. Фогель (Вогель) ә дісі деп атайды. Себебі аталғ ан ә дістің авторы американдық математик У. Фогель (кейбір ағ ылшын тілінен аударғ ан оқ у қ ұ ралдарында У. Вогель деп аталынып жү р). Ол экономикалық тұ рғ ыдан қ арағ анда осы ә діс-тердің ішіндегі ең ұ тымдысы.

Сонымен, транспортық жә не осы типтес есептерді қ олмен, компьютерсіз шығ аруғ а арналғ ан бірнеше ә дістер мен тә сілдер бар. Олардың бір-бірінен айырмашылығ ы онша кө п емес. Бірақ, кө п ө лшемді есептерді жедел, тез арада шешімін табуғ а қ азіргі кезде жоғ арыдағ ы аталғ ан ә дістер мен тә сілдер жарамсыз. Сондық тан осындай есептерді компьютер кө мегімен шығ ару келешекте қ ызық -ты болмақ.

Қ азіргі кезде нарық жү йесінде тек жү кті тасымалдаумен ай-налысатын транспорттық есептен басқ а осы есепке ұ қ сас модельдер кө птеп кездесетіні туралы жоғ арыда біренеше рет аталды.

Нарық жү йесінің кө птеген есептерінің модельдерін транс-порттық есептердің модельдеріне ұ қ сатып қ ұ рып, оларды осы есептердің ә дістерімен компьютерде MS Excel-дің Поиск решения қ ұ ралының кө мегімен шығ аруғ а болатынына келесі тақ ырыптарда кө здерің із жетеді.