Определяемому по средней скорости

Основное различие уравнений Бернулли для потока и элемен­тарной струйки заключается в определении скоростного напора в живом сечении. В отличие от элементарной струйки скорости частиц жидкости в различных точках живого сечения неодинаковы, поэтому при определении кинетической энергии через среднюю скорость допускается неточность, которую необходимо учесть.

Кинетическая энергия жидкости в сечении элементарной струйки

dE_к = pgdV, (3.51)

где dV — элементарный объем жидкости, проходящий через жи­вое сечение струйки за время t; dV = tdQ = tu dw. Тогда

dE_к = u³ dw,

Для потока запас кинетической энергии будет Е_к= и скоростной напор Н_ск = (3.52)

Скоростной напор, выраженный через среднюю скорость u (3.11), не равен действительному значению, найденному по урав­нению (3.52). Отношение действительного скоростного напора к подсчитанному по средней скорости называется коэффициентом Кориолиса:

a = (3.53)

Для равномерного турбулентного потока a= 1¸ 1, 13, для равномерного ламинарного потока a = 2. На участках неравномерного движения вследствие искажения поля скоростей коэф­фициент а может иметь различные значения, достигающие 5 и более единиц.

Если в уравнениях (3.47) и (3.48) вместо местной скорости и подставить среднюю скорость u, введя поправку к скоростному напору H_ск= , получим уравнение Бернулли для потока

(3.54) (3.55)

Такие же коррективы нужно внести и для газового потока при r = f (р, Т) в уравнения (3.49) и (3.50). Тогда

(4.33)

(4.34)

Расход жидкости через поперечное сечение зазора шириной:

(4.4)

Очевидно, что средняя скорость такого фрикционного течения равна половине скорости движения пластинки, т. е. .

При выводе предполагалось, что температура в слое неизменна и, следовательно, вязкость жидкости по­стоянна.

Приведенные рассуждения позволяют вычислить мо­мент трения на вращающемся с постоянной угловой скоростью валу (рис. VIII—4), концентрически располо­женном в подшипнике с малым относительным зазором , где b — радиальный зазор; В —диаметр вала.

При малом относительном зазоре кривизной слоя жид­кости можно пренебречь, рассматривая движение жид­кости в зазоре как плоскопараллельное. Эпюры скоростей и касательных напряжений будут тогда такими, как по­казано на рис. VIII—5, и момент трения (формула И. П. Петрова)

(4.5)

где и₀ — окружная скорость вала;

b —длина подшипника. Заметим, что фрикционное движение жидкости в за­зоре между валом и подшипником имеет ламинарный характер для чисел Рейнольдса, определяемых неравен­ством , если вращается вал, а подшипник неподвижен. В случае же вращения наружного цилиндра

при неподвижном внутреннем ламинарное движение со­храняется в области чисел Рейнольдса , причем число Рейнольдса определяется как

3. Если зазор между соосными цилиндрами одного порядка с диаметром одного из них, то предыдущее реше­ние неприменимо. Рассмотрим общее решение такой за­дачи, определив закон распределения скоростей в зазоре и момент трения на внутреннем цилиндре, если последний расположен соосно с наружным и вращается с постоянной угловой скоростью.

Выделим кольцевой бесконечно малый элемент жид­кости, размер которого в радиальном направлении равен dr, а по образующей l (рис. VIII—6).

Поскольку движение жидкости в зазоре является фрикционным, внешними силами, приложенными к вы­деленному кольцу, являются только касательные силы трения: на его внутренней поверхности и — на наружной.

Составляя уравнение моментов сил трения относительно оси вращения, получаем:

После несложных преобразований и исключения чле­нов более высокого порядка малости последнее уравнение приводится к виду:

или (4.6)

где А — постоянная.

Рассматриваемое плоское дви­жение является криволинейным, поэтому выражение закона Нью­тона (VIII—1) для жидкостного трения здесь неприменимо.

Получим выражение закона Ньютона для этого случая дви­жения. Выделим во вращающейся жидкости два слоя на радиусах r и r+dr (рис.VIII—7) и определим скорость сдвига одного слоя относительно другого. За некоторый промежуток времени t точка А внутреннего слоя переме­стится в А₁, а точка В, которую примем для простоты рассуждений лежащей на продолжении радиуса точки А, переместится в В₂.

Если скорость внутреннего слоя жидкости принять равной и, и скорость наружного слоя u+du, то очевидно дуга АА₁ = ut, а дуга ВВ₁ =(u+du)t. Следовательно, сдвиг наружного слоя относительно внутреннего

,

а скорость сдвига .

Поэтому касательное напряжение, пропорциональное угловой скорости деформации сдвига

(4.7)

Полученное выражение представляет собой обобщен­ный закон Ньютона в

полярных координатах.

Подставляя в уравнение (6) выражение , полу­чим линейное дифференциальное уравнение , интеграл которого .

Граничные условия задачи: при и при (см. рис. VIII—6), поэтому распределение скоростей

(4.8)

Касательное напряжение на внутреннем цилиндре

(4.9)

и момент трения (4.10)

Если бы мы предположили распределение скоростей
в зазоре линейным: , то имели бы по формуле Петрова следующий момент трения: .

Отношение приближенного и точного выражений моментов:

4. Рассмотрим напорное ламинарное движение жид­кости в трубе круглого поперечного сечения, вызываемое перепадом давлений по длине трубы.

Выделив объем жидкости в виде горизонтального цилиндра, соосного с трубой (рис. VIII—8), и составив уравнение равновесия приложенных к нему сил, при­ходим к следующему дифференциальному уравнению: , где и — скорость жидкости на этом радиусе; р — перепад давлений на длине трубы l; ; r — радиус вы­деленного цилиндра.

Интегрируя дифференциальное уравнение, получаем закон распределения скоростей по сечению трубы:

Определяя постоянную С из граничного условия, что скорость частиц жидкости на стенке равна нулю находим

(4.11)

где R — радиус трубы.

Скорости распределяются в поперечном сечении трубы по параболическому закону, максимум скорости имеет место на оси трубы:

Средняя скорость v равна половине максимальной скорости:

Заменяя в этом выражении R через D/2 и р через , где — потеря напора и — плотность жидкости получаем:

Решая это уравнение относительно , находим выра­жение потерь напора при ламинарном течении в трубе:

.

Так как , получаем

(4.12)

Формулу (12) можно привести к виду:

(4.13)

где — коэффициент сопротивления трения (, здесь ).

Расход жидкости через поперечное сечение трубы (фор­мула Пуазейля):

(4.14)

Следует заметить, что полученные выше зависимости, справедливые для стабилизированного ламинарного те­чения, неприменимы для входного участка трубы, где происходит формирование ламинарного потока. Длина входного начального участка ламинарного течения зави­сит от диаметра трубы и числа Рейнольдса и определяется выражением:

.

Для приближенного вычисления потерь на начальном участке можно пользоваться формулой (13), прини­мая .

5. Более сложным случаем ламинарного движения является осевое течение жидкости под действием перепада давлений в кольцевом зазоре, образованном двумя соосно расположенными цилиндрическими поверхностями (рис. VIII—19).

Чтобы найти закон распределения скоростей по сече­нию зазора, выделим бесконечно малый кольцевой эле­мент, рассмотрим действующие на него силы и составим уравнение его движения:

.

Обозначая р₁ — р₂ = р и пренебрегая членом , имеющим более высокий порядок малости по сравнению с остальными членами, после несложных преобразований получаем; следующее дифференциальное уравнение: , интегрируя которое (с учетом того, что ), находим:

Постоянные С₁ и С₂ находятся из граничных условий при и при и = 0.

Закон распределения скоростей по поперечному сечению кольцевого за­зора будет следующим:

(4.15)

Произведя далее интегрирование скорости по сечению зазора, получим выражение для расхода жидкости:

(4.16)

При R₁ =0 выражение (16) переходит в формулу Пуазейля для труб круглого поперечного сечения:

6. При решении задачи о плоском ламинарном течении в зазоре между неподвижными параллельными пластин­ками (рис. VIII—10) из рассмотрения равномерного движения выделенного элемента жидкости приходим к следующему дифференциальному уравнению:

,

где — перепад давлений на длине зазора l. Интеграл этого уравнения с учетом граничного условия (равенства нулю скорости на стенках) дает

(4.17)

где b — зазор между пластинками.

Закон распределения скоростей по высоте зазора — параболический (в пространстве — параболический ци­линдр), средняя скорость

или

Из последней формулы легко получить выражение для расхода жидкости в зазоре между пластинками

(4.18)

и для потери напора

, (4.19)

где В — ширина зазора.

Формулу (19) можно привести к виду

,

где ; — гидравлический диа­метр ().

Если одна из пластинок перемещается параллельно другой с постоянной скоростью и₀, то течение жидкости в зазоре будет более сложным, представляя собой сумму двух течений: фрикционного, наведенного перемещением верхней пластинки, и напорного, вызванного перепадом давлений р = р ₁ — р₂.

Следовательно, эпюра скоростей представляет сумму отдельных эпюр составляющих дви­жений и имеет вид, показанный на рис. VIII—11. Ее урав­нение (при расположении начала координат в середине зазора)

(4.20)

где — максимальная скорость напорного течения на оси зазора.

Имея функцию , можно легко подсчитать расход через поперечное сечение зазора и силу трения на пластинке.

При перемещении пластинки со скоростью и₀, т. е. в противоположном направлении (рис. VIII—12), закон изменения скоростей по сечению зазора будет иметь вид:

(4.21)

7. Полученным решением можно воспользоваться для определения утечек в зазоре между поршнем и цилиндром, если только зазор b мал по сравнению с диаметром D и если поршень расположен в цилиндре соосно.

При неподвижном поршне имеем по формуле (18) после подстановки

(4.22)

а при движущемся с постоянной скоростью

, (4.23)

где знак второго слагаемого зависит от направления движения поршня.

Если поршень расположен в ци­линдре с некоторым эксцентриситетом (рис. VIII —13), то зазор b между ними будет величиной переменной в зависимости от угла , причем при малом зазоре

,

Где ; — эксцентриситет.

Рассматривая приближенно каждый элемент зазора, отвечающий приращению угла , как плоский зазор, получаем следующее значение элементарного расхода:

Интегрируя последнее выражение по всей окружности, находим расход в зазоре:

, (4.24)

где — расход в зазоре при соосном расположении поршня в цилиндре.
Из полученной формулы для Q следует, что при максимальном эксцентриситете, т. е. при ,

Заметим, что при турбулентном режиме расход при наибольшем эксцентриситете возрастает приблизительно в 1, 2 раза по сравнению с расходом при концентричном кольцевом зазоре.

8. Рассмотрим течение в клиновом зазоре, вызванное перемещением горизонтальной плоскости относительно поверхности неподвижного башмака, который расположен по отношению к этой плоскости под небольшим углом (рис. VIII—14).

Такой случай имеет место в подшипниках и подпятниках скольжения, и поэтому рассматриваемая ниже задача разъясняет существо процесса, происходящего в смазочном слое.

Пусть угол клина равен и нижняя плоскость движется вправо с постоянной скоростью и₀.

Определим расход жидкости в зазоре и закон распределения давления вдоль клина, предполагая поток плоскопараллельным.

Связывая оси координат с неподвижным башмаком и располагая начало координат на уровне нижней движущейся плоскости, выделим в зазоре бесконечно малый элемент жидкости и составим уравнение его движения. Пренебрегая силами инерции по сравнению с силами давления и трения, получаем:

или .

Так как при заданном направлении осей координат ( при )

, получим .

Дважды интегрируя последнее выражение, находим

Для определения постоянных С₁ и С₂ используем следующие граничные условия:

при у = 0; u=0 при у = b.

В итоге получим

Расход жидкости в зазоре (на единицу его ширины)

.

Из последнего выражения следует, что расход жидкости через поперечное сечение клина представляет сумму фрикционного расхода и расхода, обусловленного градиентом давления вдоль оси х. При некотором значении координаты х = х_м градиент , и эпюра скоростей в этом сечении клина будет линейной. Для всех координат х < х_м, > 0, и суммарный расход жидкости равен разности расходов фрикционного и напорного течения; этому случаю соответствует левая эпюра ско­ростей.

Для всех координат , и суммарный расход будет равен сумме составляющих расходов; эпюра скоростей в поперечном сечении клина показана на рис. VIII—14 справа.

Полагая далее , получим следующий закон распределения давлений по длине башмака:

(4.25)

Кривая распределения давлений показана на рис. VIII —14. Исследуя полученную функцию на экстремум, находим, что максимум давления имеет место при и равен

Зная закон распределения давлений, можно вычислить подъемную силу на башмаке и координату, центра давления.

8. Случай течения между параллельными пластинками можно приближенно распространить и на задачу о ра­диальном течении в торцовом зазоре, образованном двумя плоскими дисками (рис. VIII—15). Определим расход жидкости в зазоре, если последний равен b, а избыточное давление подводимой жидкости на внутреннем радиусе r₀ равно р₀.

Применяя для кольцевого элемента бесконечно малой радиальной длины выведенное ранее уравнение тече­ния между параллельными пластинками, учитывая осе­вую симметрию течения и пренебрегая силами инерции по сравнению с силами давления и трения, можем написать , откуда Так как при р = 0, то .

Получили закон распределения давления по радиусу зазора. Так как при р = р₀, то очевидно, откуда искомый расход

(4.26)

Разобранная задача встречается при расчете торцовых уплотнений машин, а также при расчете дисковых фрикционных насосов.

10. При установившемся ламинарном течении в цилиндрической трубе с некруглым поперечным сечением

задача сводится к решению дифференциального уравнения Пуассона при условии равенства нулю скорости на границе потока (частный случай дифференциального уравнения Навье — Стокса);

где v — скорость потока, ; р — перепад давле­ния; х, у — координаты в плоскости поперечного сечения потока; — вязкость жидкости; l — длина трубы.

Решение задачи оказывается сложным, поэтому дадим здесь только окончательные формулы определения расхода для трех поперечных сечений (рнс. VIII—16):

а) для трубы эллиптического поперечного сечения:

(4.27)

где а и b — полуоси эллипса;

б) для трубы, имеющей поперечное сечение в форме
равностороннего треугольника со стороной а,

(4.28)

в) для трубы прямоугольного поперечного сечения

, (4.29)

где — функция, значения которой даны ниже (2а и 2b — стороны прямоугольника):

Для труб некруглого сечения расчет удобно также вести по общей формуле (13): или , где — потеря напора; — коэффициент сопротивления трения; — гидравлический диаметр сечения; у — сред­няя скорость потока; р — потеря давления; — плот­ность жидкости.

Значения для кольцевых и прямоугольных сечений даны ниже в виде произведения :

Кольцевое сечение

		103	102				2, 5
		74, 7	80, 1	86, 3	98, 4	92, 3	94, 7

Прямоугольное сечение

		89, 9	84, 7	82, 3	78, 8	72, 9	62, 2	56, 9

11. Вязкость жидкости изменяется при изменении давления температуры. Эти зависимости выражаются формулами и , где — вязкость при давлении р₀ и температуре ; и — опытные коэффициенты, различные для различ­ных жидкостей.

При одновременном учете влияния давления и тем­пературы

(4.30)

Формула (30) позволяет решать задачи ламинар­ного течения, в которых необходимо учитывать перемен­ность вязкости.

Рассмотрим, например, ламинарное течение жидкости в' зазоре между двумя параллельными пластинками (рис. VIII —17) под действием избыточного давления при начальной температуре . Определим закон измене­ния давления вдоль зазора, а также расход жидкости через него.

Так как при движении жидкости работа сил трения переходит в тепло, то между давлением и температурой жидкости в каждом сечении зазора существует определенная зависимость.

Пусть в некотором сечении х от входа избыточное давление р и температура t. Тогда, считая, что все тепло, выделяемое в результате внутреннего трения, восприни­мается жидкостью и не передается стенкам, можно записать:

где С — удельная теплоемкость; — плотность жидкости. Обозначая через k, получаем:

Подставляя этот результат в формулу (4.30) и учи­тывая, что на выходе давление атмосферное (р₀ = 0), получаем:

или

Выделив элементарный участок зазора длиной dх, можем записать по формуле (4.19)

где Q — расход жидкости; В — ширина зазора; b — вы­сота зазора.

Разделяя переменные

после интегрирования и несложных преобразований полу­чаем следующий закон распределения давления по длине зазора (см. эпюру давлений на рис. VIII—17):

и расход

Введем обозначение , где — расход через зазор, вычисленный в предполо­жении .

Таким образом, окончательно получим:

(4.31)

Вопросы для самопроверки.

1. Укажите закон распределения касательных напряжений при ламинарном движении.

2. Изобразите закон распределения касательных напряжений и эпюру скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

3. Каково соотношение максимальной и средней скоростями при ламинарном течении?

4. Чему равно значение коэффициента Кориолиса при ламинарном движении?

5. От каких параметров зависят потери на трение?

6. В чем состоят особенности движения жидкости на начальном участке ламинарного течения? Как определить длину этого участка и потере в нем?

7.Каковы особенности движения жидкости в плоских и цилиндрических зазорах?