И математический аппарат гидромеханики

Здесь вводятся основные понятия, определения и аппарат, на базе которых строятся соотношения и уравнения для математического опи­сания жидкой среды безотносительно к ее физическим свойствам и природе.

1. 1. Математический аппарат метода координат

Для характеристики состояния среды и описания изучаемых явлений применяются специальные математические объекты - тензоры различных рангов, компоненты которых предполагаются непрерывными, дифференцируемыми достаточное число раз по коор­натам и времени функциями, следовательно, ограниченными вместе с их производными в области тела. К ним относятся плотность, темпе­ратура, энергия, перемещение, скорость, поток тепла, тензор дефор­маций, тензор напряжений и др.

Тензоры в гидромеханике вводятся как функции точки в геометрическом пространстве (вектор-функции точки).

Все классы векторов, обычно встречающиеся в гидромеханике, связаны с одно- или двух- или трехмерным евклидовым пространством.

Эти функции, помимо их зависимости от точки, могут содержать время, а также другие параметры.

Описание физического состояния жидкой среды тензорными величинами позволяет использовать сокращенную форму записи системы координатных уравнений одним уравнением.

Скаляр (тензор нулевого ранга) – функция точки, ставящая каждой точке пространства в соответствие определенное число.

Вектор (n -мерный вектор) - функция точки, ставящая каждой точке пространства упорядоченную систему из n чисел

a = (a _1, a _2, … a_n) (1.1.1)

где а – вектор; числа а_i (i = 1, 2, …, n) – компоненты вектора;

Тензор первого ранга представляет вектор.

Тензор второго ранга – вектору, заданному в данной точке пространства, ставит в соответствие другой вектор, причем соответствие между векторами является линейным.

Тензор высшего ранга таким же образом ставит каждому вектору в соответ­ствие тензор на единицу меньшего ранга.

Эти функции, помимо их зависимости от точки, могут содержать и другие параметры, например время.

Если эти функции определены в каждой точке пространства, то говорят о скалярных полях, векторных полях, тензорных полях, соответственно о векторе поля и т. д.

Возможны случаи, когда поле определено лишь на некоторой по­верхности, на некоторой линии или в отдельных точках.

Если функции, о которых идет речь, не зависят от положения точки, то такие скаляры, векторы и тензоры мы в дальнейшем будем называть свободными.

Вектор, заданный в одной какой-либо точке, может быть с со­хранением величины и направления перенесен в другую точку. То же имеет место и для тензоров.