Матрица векторных произведений базисных векторов.

Векторным произведением двух векторов е ₁ и е ₂ является величина , определяемая равенством

, (1.1.12)

где n есть единичный вектор, перпендику-лярный к плоскости, образованной векторами е1 и е2 и направленный так, чтобы, е1, е2, n образовали правовинтовую систему (рис. 1.1.8), если для наблюдателя, стоящего на плоскости е1, е2 поворот вектора е1 до совмещения с е2 (на угол меньший 180°) представляется происходящим против часовой стрелки. Векторы е1, е2, е3, где е3 не обязательно перпендикуля­рен плоскости, содержащей

Рис. 1.1.8. Векторное произведение векторов

е ₁ и е ₂, образуют право­винтовую систему, если угол между е ₃ и n меньше 90° и е ₁, е ₂, n образуют правовинтовую систему.

Системы будут называться левыми (левовинтовыми) если заменить в их определении слова по «часовой стрелке» словами против «часовой стрелки». Для векторов е ₁ и е ₂ параллельных друг другу, направление n неопределенно, но sinf₁₂ = 0, и следовательно = 0.

Перестановка сомножителей векторного произведения изменяет его знак, так как теперь уже векторы е ₁, е ₂, - n образуют правую систему. Величина скалярного произведения не зависит от порядка сомножителей.

Для скалярного и векторного произведений справедливы распределительный и

сочетательный законы

Теорема. Площадь параллелограмма А, построенного на векторах е ₁ и е ₂ как на сторонах, может быть выражена равенством

(1.1.13)

(1.1.14)

Вертикальные прямые в первом сочетании означают модуль вектора, а во втором – символ определителя.

Доказательство. Площадь параллелограмма ОР ₁ QР ₂ на рис. 1.1.6. равна удвоенной площади треугольника ОР ₁ Р ₂, площадь последнего равна . Следовательно имеем А = , что, согласно (1.1.11) доказывает справедливость верхнего равенства(1.1.12). Далее после преобразований

убеждаемся в правильности (1.1.14).

1.1.16. Ареальный вектор (векто­р площади).

Ориентация некоторой плоскости в пространстве мо­жет быть определена единичным вектором n нормали к плоскости; направление этого вектора произвольно и обычно

задается в кон­кретных задачах. Отме­тив на плоскости некоторую область с площадью А, мы можем связать с ней вектор А n, который принято называть векто­ром площади, или ареальным. вектором. Для параллелограмма со смеж­ными сторонами е1 , е2 (рис. 1.1.8) ареальный век­тор равен (1.1.15) При таком выборе знака векторы е1 , е2 и ареальный вектор А n образуют правую систему. Теорема. Сумма всех, направленных во внутрь объема ареальных векторов граней тетраэдра равна нулю. Доказательство. В тетраэдре ОР 1 Р 2 Р З (рис. 1.1.9.) обозначим ОР i = е i, (i = 1, 2, 3). Тогда

Рис. 1.1.9. Ареальный вектор

Р ₁ Р ₂ = е ₂ - е ₁, Р ₁ Р ₃ = е ₃ - е ₁, следовательно, направленный внутрь тетраэдра вектор площади грани Р ₁ Р ₂ Р _З равен

Складывая этот вектор с векторами площади остальных граней, т. е. с суммой

,

получим в результате нуль, что доказывает теорему.

Очевидно, теорема останется справедливой, если ареальным векторам граней придать внешнее направ­ление. Не представляет труда показать, что аналогич­ная теорема сохранит силу для полиэдра с произволь­ным числом граней. Его можно разбить на тетраэдры вспомогательными плоскостями. Вклад дополнительных плоскостей в сумму ареальных векторов окажется рав­ным нулю.