Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, (9)

где – общая дисперсия признака Y,

– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство = 0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство = 1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

, (10)

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

=

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер банка п/п	Прибыль, млн руб.
	45, 1	-11, 803	139, 3187	2034, 01
	6, 2	-50, 703	2570, 8280	38, 44
	67, 0	10, 097	101, 9427	4489, 00
	27, 3	-29, 603	876, 3573	745, 29
	62, 5	5, 597	31, 3227	3906, 25
	60, 0	3, 097	9, 5893	3600, 00
	16, 9	-40, 003	1600, 2667	285, 61
	20, 9	-36, 003	1296, 2400	436, 81
	65, 0	8, 097	65, 5560	4225, 00
	16, 0	-40, 903	1673, 0827	256, 00
	69, 0	12, 097	146, 3293	4761, 00
	35, 0	-21, 903	479, 7560	1225, 00
	53, 4	-3, 503	12, 2733	2851, 56
	66, 2	9, 297	86, 4280	4382, 44
	56, 0	-0, 903	0, 8160	3136, 00
	58, 0	1, 097	1, 2027	3364, 00
	47, 0	-9, 903	98, 0760	2209, 00
	64, 7	7, 797	60, 7880	4186, 09
	46, 2	-10, 703	114, 5613	2134, 44
	53, 7	-3, 203	10, 2613	2883, 69
	67, 0	10, 097	101, 9427	4489, 00
	68, 0	11, 097	123, 1360	4624, 00
	70, 0	13, 097	171, 5227	4900, 00
	80, 1	23, 197	538, 0853	6416, 01
	67, 7	10, 797	116, 5680	4583, 29
	72, 0	15, 097	227, 9093	5184, 00
	84, 0	27, 097	734, 2293	7056, 00
	87, 0	30, 097	905, 8093	7569, 00
	90, 2	33, 297	1108, 6680	8136, 04
	85, 0	28, 097	789, 4227	7225, 00
Итого	1707, 1	1650, 197	14192, 2897	111331, 97

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

– квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

где –групповые средние,

– общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13 При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы банков по размеру кредитных вложений, млн руб.	Число банков,	Среднее значение в группе
40 – 90
90 – 140
140 – 190		59, 283	2, 380	67, 9728
190 – 240		78, 222	21, 319	4090, 4552
Итого				10653, 9291

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

………………………………или ……….%

Вывод. ……..% вариации суммы прибыли банков обусловлено вариацией объема кредитных вложений, а ……..% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

(14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между объемом кредитных вложений и суммой прибыли банков является тесной.

3. Оценка статистической значимости коэффициента детерминации .

Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,

где n – число единиц выборочной совокупности,

m – количество групп,

– межгрупповая дисперсия,

– дисперсия j-ой группы (j=1, 2, …, m),

– средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия F_расч сравнивается с табличным F_табл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m: k₁=m-1, k₂=n-m. Величина F_табл для значений , k_1, k₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений , k_1, k₂. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0, 05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0, 95).

Если F_расч> F_табл, коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F_расч< F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0, 05; k₁=3, 4, 5; k₂=24-35 представлен ниже:

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =……..%, полученной при =……………, =………….:

F_{рас ч}

Табличное значение F-критерия при = 0, 05:

Вывод: поскольку F_расч……F_табл, то величина коэффициента детерминации =……….% признается ……………………. и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Объем кредитных вложений банков и Сумма прибыли банков правомерны ………………………………………………….

.