Занятие 1. Основные формулы комбинаторики. Случайные события

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены для проведения практических занятий по теме «Элементы тории вероятностей. Случайные события». С целью облегчения самостоятельной работы студентов приводится большое количество подробно рассмотренных примеров для каждого занятия. Указания содержат варианты заданий для типовых расчетов.

Перед каждым практическим занятием следует изучить соответствующий материал по учебнику (или конспекту лекций) и ответить на относящиеся к занятию теоретические вопросы.

Занятие 1. Основные формулы комбинаторики. Случайные события

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Допустим, что требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n ₁способами, второе - n ₂ способами и так до k -го действия, которое можно выполнить n _k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены n ₁ × n ₂ × …× n _k способами, в этом заключается основной принцип комбинаторики (правило умножения).

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р_п = п!,

где = Заметим, что 0! = 1.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел

Р ₃ = 3! = = 6.

Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

A _n^m = п (п — 1)(п— 2) ... (п—т+ 1).

Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Искомое число сигналов

=6-5 = 30.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

C_n^k = n! /(k! (n — k)!).

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов

C ₁₀²=10! /(2! 8!) = 45.

Представим множество из n элементов в виде суммы m множеств, содержащих соответственно . . Обозначим число различных способов такого разбиения на группы через ). Оно определяется по формуле

)=

Пример 4. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Множество из 80 человек разобьем на четыре подмножества из 1 человека(председатель), 1 человека (секретарь) 3 человек (члены ревизионной комиссии), 75 (остальные члены собрания). Искомое число способов равно

)=

Под «событием» в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Наблюдаемые нами события можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные, случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20⁰ (совокупность условий S), то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, брошенная монета может упасть либо «гербом», либо «цифрой». Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» - случайное. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Пример 4. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

Введем некоторые вспомогательные понятия.

1. Полная группа событий.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Пример 5. Брошена монета. Может выпасть герб или цифра. Эти два события образуют полную группу, то есть появление одного из них есть достоверное событие.

2. Несовместные события.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В частности, если события, образующиеполную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример 6. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные.

Пример 7. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 8. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

3. Равновозможные события.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 9. Появление герба и появление цифры при бросании монеты – равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Пример 10. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.