![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Занятие 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В— попадание при втором выстреле, то А + В— попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В— несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С. Произведением двух событий А и В называют событие А В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А —деталь годная, В— деталь окрашенная, то АВ— деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С— появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «герба» во всех трех испытаниях. Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого (вероятность суммы событий), равна сумме вероятностей этих событий: P (A+B) = P (A) + P (B). Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого равна сумме вероятностей этих событий: P (A 1+ A 2+...+ A n) = P (A 1)+ P (A 2)+...+ P (A n). Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А) P (A)=10/30=1/3. Вероятность появления синего шара (событие В) P (B)=5/30. События А и В несовместны (появление одного шара исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B)= P (A)+ P (B)=1/3+1/6=1/2. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные. Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р (А) + Р ( Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают р + q =1. Пример 2. Вероятность того, что день будет дождливым, р =0, 7. Найти вероятность того, что день будет ясным. Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность q =1- р =1-0, 7 = 0, 3. Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Например, если А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков, то события А и В – совместные. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р (А+В) = Р (А)+ Р (В)- Р (АВ), где АВ – произведение событий А и В. Условной вероятностью РА (В)называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РА (В) = Р (В). Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р (АВ) = Р (А) РА (В). Замечание. Справедливо равенство Р (А) РА (В) = Р (В) РВ (А). Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились. В частности, для трех событий Р (АВС) = Р (А) РА (В) РАВ (С). Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д. Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С). Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании Р (А)= 5/12. Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность РА (В)= 4/11. Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый пар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность РАВ (С) = 3/10. Искомая вероятность Р (АВС) = Р (А) РА (В) РАВ (С) = Для независимых событий теорема умножения Р (АВ)= Р (А) РА (В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Пример 4. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А)равна 0, 8, а вторым (событие В) - 0, 7. Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) Р (В) = Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1, А 2, …, Аn независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий P (A)=1- q 1 q 2 … qп. Замечание. Если события А 1, А 2, …, Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий P (A)=1- qп . Пример 5. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р 1=0, 8; р 2=0, 7; р 3=0, 9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А 1 (попадание первого орудия), А 2 (попадание второго орудия), А 3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям А 1, А 2 и А 3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны: q 1=1- p 1=1-0, 8=0, 2; q 2=1- p 2=1-0, 7=0, 3; q 3=1- p 3=1-0, 9=0, 1. Искомая вероятность P (A)=1- q 1 q 2 q 3=1-
|