Интуиционизм

Интуициони́ зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов

ИНТУИЦИОНИЗМ — одно из трех главных направлений (наряду с логицизмом и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики. Основное отличие интуиционизма от других направлений в том, что он ставит иную цель математике: не доказательство “истинных” теорем, а поиск математических (умственных, в терминологии первоначального интуиционизма) конструкций, органично соединяющих в себе построение и его обоснование.

Для общей характеризации направлений, выросших из интуиционизма, часто пользуются термином конструктивизм. Поэтому стоит различать интуиционизм в узком смысле (брауэровский), российский конструктивизм (см. Конструктивное направление) и различные частично конструктивные направления, часто также называемые современным интуиционизмом. Предшественниками интуиционизма являются немецкий математик 19 в. Л. Кронекер, французские эффективисты (см. Эффективизм), А. Пуанкаре и Э. Борель. Они с разных позиций отмечали признаки неблагополучия в математике, связанные с тем, что в классической математике доказательства многих теорем существования не дают построений искомых объектов, и пытались несколько ограничить математические конструкции для устранения данного недостатка.

Началом интуиционизма как направления считается 1907, когда Л. Э. Я. Брауэр показал, что косметическим ремонтом выявившееся расхождение понятий “существование” и “построение” не устранить и что корни многих нежелательных свойств классической математики уходят в классическую логику

До 1945 интуиционизм развивался преимущественно в Голландии, хотя некоторые фундаментальные работы были созданы в России, Австрии и Польше учеными, не причислявшями себя к данному направлению. Ныне самой сильной школой интуиционизма остается голландская, но, помимо нее, имеются, в частности, американская и русская школы. Основания для выводов Брауэра — с несколько модернизированной точки зрения — таковы: Согласно теореме Геделя о неполноте в достаточно богатой теории имеется такая формула G, что ни она, ни ее отрицание недоказуемы. При помощи классической логики легко вывести

3x((G^> x=0)& (G=> x=Ï)).

Обозначим данную формулу ЗхА(х). Ни для какого конкретного л•о нельзя доказать А(хо).

В теории множеств ситуация ухудшается лишь незначительно. Аксиома выбора дает возможность построить такую доказуемую формулу ЗхВ(х), чтонельзя построить формулу С(х), для которой 3! χ С(х) и Vx(C(x) => В(х)). Такая же ситуация возникает при использовании альтернативы к аксиоме выбора — аксиомы детерминированности.

Согласно анализу А. А. Маркова, классическая математика базируется на трех абстракциях: абстракции отождествления, не позволяющей использовать свойства, различающие равные объекты; абстракции потенциальной осуществимости, позволяющей пренебречь физическими ограничениями на реализуемость очень больших конечных объектов и процессов, и абстракции актуальной бесконечности, дающей возможность мыслить бесконечные совокупности как завершенные и использовать бесконечные множества и бесконечные процессы для построения других математических объектов. Брауэр принял две первые абстракции и отверг третью. В этом с ним солидарны почти все нынешние продолжатели конструктивных традиций в математике.

В некоторых разделах современного интуиционизма это допущение ослабляется, а в некоторых — усиливается. Но в любом случае принимаются во внимание принципиальные ограничения выполнимых построений: необходимость сведения любой новой задачи к уже решенным, чтобы представить новое построение как композицию старых.

При таком подходе логика не может рассматриваться как нечто данное a priori, она должна подбираться в соответствии с классом рассматриваемых объектов и с классом допустимых методов решения задач. Так, классическая логика оказывается либо логикой конечных объектов, либо логикой всех теоретико-множественных построений с аксиомой выбора.

Сама интерпретация логических формул изменяется в корне. Значения истинности представляют собой нечто второстепенное по сравнению с конкретным построением, проведенным при доказательстве теоремы. Поэтому формулы интерпретируются как задачи, логические связки — как преобразования задач, методы доказательства — как методы сведения новых задач к уже решенным либо принятым в качестве решенных. Брауэр предложил воспользоваться для перестройки математики логикой, подобной классической, за исключением законов исключенного третьего и снятия двойного отрицания (которые в данном контексте эквивалентны) — интуиционистской логикой. Он отказался от многих объектов, созданных в теоретико-множественной математике, и ограничился теми, которые хотя бы косвенно сводятся к двум исходным сущностям: к конструктивным объектам, строящимся как конечные конструкции из конечного числа исходных ясно различимых объектов, и к последовательностям выбора, пред

ставляющим из себя методы последовательного конструирования потенциально бесконечного числа исходных объектов. Примерами последовательностей выбора являются алгоритмы, последовательности измерений физических величин и т. п. Первоначально Брауэр пытался прямо перестроить основные разделы математики, при этом он, в частности, раньше, чем это было сделано классическими средствами, установил важный результат (теорема о веерах или лемма Кёнига): дерево с конечным ветвлением и конечными путями конечно. Перестройка математики, осуществлявшаяся Брауэром, отличалась максимальной осторожностью при соблюдении принципов конструктивности. Он стремился спасти все, что можно было спасти. Примеры гораздо более жестких подходов продемонстрировали Р. Л. Гудстейн и Н. А. Шанин.

Наиболее интересны следующие результаты Брауэра. Операторы над последовательностями выбора должны использовать конечное число значений последовательности для получения конечной выходной информации. На основе этого он доказал непрерывность интуиционистски определимых функций действительной переменной. Брауэр показал, что на самом деле в разных областях математики использовались разные понятия функции действительной переменной, в частности, что измеримые функции не стоит для конструктивных целей трактовать как операторы над действительными числами.

Сразу же после формализации интуиционистской логики многие математики начали развивать вариации интуиционизма, либо еще сильнее ограничивая логику, либо еще сильнее ограничивая объекты. Йохансон предложил использовать в качестве основы для интуиционизма минимальную логику, но оказалось, что в любой теории, содержащей натуральные числа, интуиционистское отрицание определимо, и переход к минимальной логике ничего нового не дает. Д. Грис предложил рассматривать безотрицательную математику, в которой запрещены пустые понятия типа квадратного круга. Продвижение в данном направлении идет весьма медленно из-за необычности и трудности возникающих конструкций.

Новый импульс исследованиям в области интуиционистских понятий дали интерпретация интуиционистской логики Колмогоровым и ее (логики) формализация А Рейтингом. На этой основе и на основе точного понятия алгоритма (см. алгоритм) С. К. Клина (1945) дал первую точную классическую модель неклассической математики: понятие реализуемости. В интерпретации Клини стало возможным формально выразить тезис Чёрча как схему аксиом.

А. А. Марков (1947) и советская школа конструктивизма развили вариант математики, последовательно проводящий идею о том, что нет ничего, кроме конструктивных объектов, а алгоритмы отождествляются с их программами. Он ввел “принцип Маркова”, явно разделивший обоснования и построения, разница между которыми с самого начала ощущалась в интуиционизме. Содержательно принцип Маркова гласит, что для обоснования уже проделанных построений можно пользоваться классической логикой (это показал Н. А. Шанин, построив алгоритм конструктивной расшифровки, разбивающий любую формулу на явное построение и классическое обоснование данного построения). Польская школа пошла по другому пути, ограничиваясь конструктивными объектами, но сохраняя классическую логику

Реализуемость выявила, что интуиционистские теории могут расходиться с классическими. Напр., еслиДх) — неразрешимое свойство натуральных чисел, то конструктивно верна формула - /х(А{х} —}А(х)).

Зафиксировав понятие вычислимой последовательности, мы сохраняем свободу при определении операторов высших типов. Первым это показал Клини, построив общерекурсивную реализуемость, при которой выполнена схема

fx(}A(x) => ЗуВ(х, у)) =” Vx3y (А(х) =” Ј(x, y)), выражающая всюду определенность всех функций. Возможность выразить формулами первого порядка те высказывания, для которых в классической логике требуются конструкции высших порядков — еще одно преимущество интуиционизма. Принцип Маркова несовместим с данной схемой во всех содержательных интуиционистских теориях, хотя оба они являются классическими тавтологиями.

Э. Бишоп (1960), переопределив вычислимые функционалы, предложил вариант интуиционизма, который характеризуется принципом: “использовать лишь алгоритмы, но явно этого не говорить”. Этот вариант, в дальнейшем развитый многими учеными, в том числе П. Мартин-Лёфом, соединил многие преимущества брауэровского и марковского подходов.

Сам Брауэр после появления реализуемости по Клини сосредоточился на примерах вычислимости, не подходящих под понятие алгоритма. В частности, он предложил следующие новые типы последовательностей — творческую последовательность а(п) = 0, если в году я не доказана формула А, и 1, если она доказана; и беззаконную последовательность, обладающую следующим свойством: Va [А (а) => Зп Vß (Vm (m < n => a(m) = ß (m)) =” Α φ))), т. е. все, что мы о них знаем, мы знаем из уже полученной информации. Трулстра (1974) доказал, что композиции алгоритмов и беззаконных последовательностей образуют интуиционистскую модель, в которой можно промоделировать творческие последовательности. Беззаконные последовательности явились первым примером позитивного использования незнания в точных науках. Возможность сформулировать незнание в вице логической формулы — еще одно достижение интуиционизма.

С конца 70-х гг развиваются идеи приложений интуиционизма к программированию, поскольку интуиционистские доказательства могут рассматриваться как полностью обоснованные программы. Как всегда, попытка лобового применения глубоких идеальных концепций оказалась неудачной. В таких случаях нужно искать обходные пути. Ими могут стать системы, основанные на более жестких принципах, не принимающие абстракции потенциальной осуществимости и дающие построения при ограниченных ресурсах. Таковы линейные логики Ж.-И. Жирара, ультраинтуиционистские системы А. С. Есенина-Вольпина и С. Ю. Сазонова, нильпотентные логики Н. Н. Непейводы и А. П. Бельтюкова.

Голландская школа, наоборот, рассмотрела приложения интуиционистских понятий к теории множеств, расширяющие понятие эффективной операции, и получила ряд глубоких результатов. В частности, аксиома выбора интуиционистски становится почти безвредной, так что она концептуально противоречит исключенного третьего закону, а не эффективности построений. Интуиционистские теории возникают также при категорией интерпретации логики.

Интуиционизм, остро поставив вопросы оснований математики, способствовал развитию других направлений, в частности, формулировке программы Гильберта (см. Формализм). Он выдвинул на первый план понятие построения, что способствовало повороту математики в сторону приложений. Он показал важность идеальных объектов при построениях, что обосновало ущербность плоских прагматических и утилитаристских концепций и возможность рациональной альтернативы традиционному рационализму, что до сих пор как следует не использовано современной философией и системологией. Лит.: ГейтингА. Интуиционизм. М., 1969.

Н. Н. Непейвода