Симметрия относительно прямой. Метод симметрии

Пусть дана точка А плоскости. Построим произвольную прямую s, не содержащую точку А. Построим перпендикуляр АА₀ ^ s (где А₀ Ì s) и отрезок А₀А¢ этого перпендикуляра так, что АА₀=А₀А¢. Назовем А¢ образом точки А при симметрии относительно прямой s. Прямую s назовем осью симметрии. Установим взаимно однозначное соответствие между А и А¢. Тогда и А есть образ точки А¢, т. е. А и А¢ взаимно симметричные точки. Таким образом, для каждой точки М плоскости можно найти соответственную ей точку, если задать ось симметрии s.

Операция установления соответствия между точками плоскости при помощи симметрии относительно прямой называется преобразованием симметрии относительно прямой, или просто осевой симметрией.

Достаточно задать ось симметрии, чтобы определить симметрию как преобразование плоскости в себя. При этом точки оси симметрии сами себе соответствуют.

Пусть на плоскости дан некоторый геометрический образ, например кривая l, и указана ось симметрии s. Тогда существует образ кривой l при симметрии относительно оси s, именно кривая l¢ (рис. 13). Кривую l¢ можно считать геометрическим местом образов точек кривой l.

Нетрудно установить, что образом прямой является прямая, образом отрезка является отрезок и что взаимно симметричные фигуры[1] F₁ и F₂ равны и противоположно ориентированы (зеркально равны), поэтому, вообще говоря, фигуру F₁ невозможно совместить со своим образом F₂ при помощи перемещения в плоскости.

Рассмотрим теперь применение симметрии относительно прямой при решении задач на построение.

В отдельных случаях для отыскания свойств искомых элементов целесообразно отразить фигуру F чертежа-наброска или некоторые ее части от надлежащим образом выбранной оси. При новом положении фигуры или ее частей иногда удается найти свойства искомых элементов.

Реализация этой идеи в анализе и будет характерным признаком применения метода осевой симметрии.

Проиллюстрируем примерами это общее положение.

Задача 5. Дан угол XOY, образованный лучами XO и OY, и точка А внутри этого угла. Найти на сторонах угла такие точки В и С, чтобы треугольник АВС имел наименьший периметр.

Анализ. Предположим, что задача решена, треугольник АВ₁С₁ – искомый (рис. 14). Так как точка А дана, то одна вершина этого треугольника известна. Искомые точки – В₁ и С₁. Для отыскания их установим геометрические свойства этих точек.

Очевидно лишь одно свойство точки В₁: В₁ Ì OX. Второе свойство пока не усматривается.

Аналогично: С₁ Ì OY, и пока более ничего нельзя сказать о свойствах этой точки.

Попробуем для установления новых свойств точек В₁ и С₁ отразить точку А от прямых OX и OY; получим отражения точки А, соответственно В¢ и С¢. Построим отрезки В¢ В₁ и С¢ С₁. Очевидно, сумма В¢ В₁+В₁С₁+С₁С¢ равна периметру треугольника АВ₁С₁. Требуется, чтобы эта сумма была наименьшей, т. е. чтобы точки В¢, В₁, С₁ и С¢ принадлежали одной прямой В¢ С¢, положение которой известно.

Отсюда видно второе свойство точек В₁ и С₁: В₁ Ì В¢ С¢ и С₁ Ì В¢ С ¢.

Вывод. Искомые точки, если они существуют, суть точки пересечения лучей OX и OY с прямой В¢ С¢.

Приведем пример более сложной задачи.