Параллельный перенос. Метод параллельного переноса

Пусть а₁ и а₂ – две параллельные прямые. Пусть Х – произвольная точка плоскости. Построим точку Х¢, симметричную точке Х относительно прямой а₁, а затем построим точку Х¢ ¢, симметричную точке Х¢ относительно прямой а₂ (рис. 16). Преобразование, которое сопоставляет точке Х точку Х¢ ¢ указанным образом, называется параллельным переносом.

Можно показать, что это преобразование обладает следующим свойством: все отрезки, каждый из которых соединяет две соответственные точки, равны, параллельны и направлены в одну сторону (каждый из них равен удвоенному расстоянию между а₁ и а₂). Другими словами, фигура F₁ преобразуется в фигуру F₂ так, как будто все точки фигуры F₁ перенесены по прямым, перпендикулярным осям, в направлении от а₁ к а₂ на расстояние, равное удвоенному расстоянию между прямыми а₁ и а₂.

Преобразование переноса имеет большое применение при решении задач на построение; оно также служит цели раскрытия свойств искомых элементов. При этом чаще всего выполняется перенос некоторых известных элементов фигуры.

Рассмотрим следующий пример.

Задача 8. Построить четырехугольник, если известны три его стороны и два внутренних острых угла, прилежащих к четвертой стороне.

Анализ. Примем за известные вершины четырехугольника точки А и В (рис. 18). Тогда вершины С и D – искомые. Достаточно найти одну из них.Установим, например, свойства точки D. Очевидно, что D Ì AD. Второе свойство точки D пока неочевидно.Выполним (определяемый вектором ) параллельный перенос отрезка ВС. Тогда ломаная АВD¢ может быть построена, и становится очевидным второе свойство точки D: D принадлежит окружности (D¢, b). Дальнейший ход рассуждений ясен.Если в каждой из двух рассмотренных задач довести решение до конца, то мы будем иметь пример применения метода параллельного переноса в решении задач на построение.Во многих задачах на построение четырехугольников параллельный перенос быстрее приводит к цели, если заранее изучить основные свойства фигур, образующихся после определенного переноса некоторых элементов четырехугольника.