Поворот

Пусть а₁ и а₂ – две различные прямые, пересекающиеся в точке О. Пусть Х – произвольная точка плоскости. Построим точку Х¢, симметричную точке Х относительно прямой а₁, а затем построим точку Х¢ ¢, симметричную точке Х¢ относительно прямой а₂ (рис. 22.) Преобразование, которое сопоставляет точке Х точку Х¢ ¢ указанным образом, называется поворотом относительно точки О. Если прямые а₁ и а₂ перпендикулярны, то поворот сводится к симметрии относительно точки О. Если прямые а₁ и а₂ не перпендикулярны, то угол ХОХ¢ ¢ не зависит от точки Х и равен удвоенному острому углу, под которым пересекаются прямые а₁ и а₂. Этот угол называется углом поворота. Наметим доказательство этого утверждения.

Пусть точка Х¢ находится внутри острого угла, образованного прямыми а₁, а₂, и a₁, a₂ – части этого угла, на которые он разбивается полупрямой ОХ¢ (рис. 22). Тогда по свойству симметрии относительно прямой угол ХОХ¢ равен 2a₁, а угол Х¢ ОХ¢ ¢ равен 2a₂. Соответственно угол ХОХ¢ ¢ равен 2a₁+2a₂=2(a₁+a₂). Читателю предлагается рассмотреть случай, когда точка Х¢ лежит внутри тупого угла, образуемого прямыми а₁ и а₂, а также случай, когда прямые а₁ и а₂ перпендикулярны.

Поворот прямой а на угол j вокруг центра О выполняется так.

Строится ОМ ^ а (М Ì а). Затем в нужном направлении производится поворот отрезка ОМ на угол j в положение ОМ¢, после чего строится прямая а¢ ^ ОМ¢.

Отметим следующее очевидное свойство отражения фигур, обладающих осевой симметрией.

Преобразование симметрии относительно оси s, выполненное по отношению к фигуре, обладающей хотя бы одной осью симметрии, может быть заменено поворотом (в частном случае параллельным переносом).

Подвергнем фигуру F₁ (рис.23) преобразованию симметрии относительно прямой s. В результате получим фигуру F₂, противоположно ориентированную. Выполним для фигуры F₂ преобразование симметрии относительно оси s₂ (s₂ есть, очевидно, образ оси s₁). Тогда фигура F₂ преобразуется в себя и будет одинаково ориентирована с F₁, следовательно, фигуры F₁ и F₂ могут быть совмещены поворотом вокруг точки О пересечения оси симметрии фигуры и оси s. Если эти оси параллельны, то достаточно выполнить некоторый параллельный перенос.

Поворот на некоторый угол j £ 180° имеет применение при решении задач на построение. При этом поворот выполняется либо по отношению ко всей фигуре чертежа-наброска, либо по отношению к отдельным элементам фигуры.

Рассмотрим примеры.

Задача 11. Даны точка О и прямые а и b, не проходящие через нее. Из точки О как из центра провести такую окружность, чтобы дуга ее, заключенная между данными прямыми, была видна из точки О под данным острым углом a. Анализ. Допустим, что задача решена, w - искомая окружность, А и В – концы дуги, заключенной между данными прямыми, Ð АОВ = a (рис. 24). Если осуществить поворот прямой а около точки О на угол a, то точка А попадет в точку В. Следовательно, точка В может быть найдена как пересечение образа прямой а с прямой b. После этого легко строится искомая окружность.