Центральная симметрия

Пусть О – некоторая точка плоскости и Х – произвольная точка. Построим точку Х¢ по следующему правилу. Если точка Х совпадает с О, то Х¢ есть точка О. Если точка Х не совпадает с О, то точка Х¢ лежит на прямой ХО, причем точка О лежит между Х и Х¢ и расстояния ХО и ОХ¢ равны (рис. 19). Построенная так точка Х¢ называется симметричной относительно точки О. Преобразование плоскости в себя, при котором каждой точке Х по указанному правилу сопоставляется точка Х¢, называется преобразованием симметрии относительно точки О.

Во многих случаях для анализа в решении задачи на построение целесообразно применить центральную симметрию.

Рассмотрим две задачи.

Задача 9. Даны окружность w, две ее точки А и В, прямая а и ее точка М внутри окружности w. Требуется найти на окружности третью точку С, такую, чтобы прямые АС и ВС отсекали на прямой а отрезок, делящийся в точке М пополам.

Анализ. Предположив задачу решенной, видим (рис. 20), что построение решает точка Р Ì а. Для установления еще одного свойства точки Р отразим В от точки М. Тогда В преобразуется в В¢ и В¢ Р ∥ ВС, т. е. Ð В¢ РС =Ð ВСР =j. Отсюда очевидно, что отрезок АВ¢ виден из точки Р под известным углом 180°-j, т. е. точка Р, если она существует, есть точка пересечения прямой а и ГМТ, из которых отрезок АВ¢ виден под углом 180°-j.