Ковариация и корреляция

Различают выборочную и теоретическую ковариацию.

Выборочной ковариацией двух переменных х, у называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних, т.е.

,

Или . .

Заметим, что

.

Теоретической ковариацией случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих средних значений.

Если случайные величины X, Y независимы, то cov(X, Y) = 0, а если cov(X, Y) ≠ 0, то X, Y – зависимы.

Более точной мерой зависимости между величинами является коэффициенты корреляции.

Различают теоретический и выборочный коэффициенты корреляции.

Теоретический коэффициент корреляции определяется выражением:

,

где σ _X σ _Y – стандартные отклонения случайных величин X, Y.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, изменяющейся в пределах -1 ≤ ρ ≤ 1 и показывает степень линейной связи двух случайных величин. Теоретический коэффициент корреляции является неслучайной величиной (истинной).

Случайные величины X, Y называются некоррелированными, если ρ = 0, и коррелированными, если ρ ≠ 0.

Независимость случайных величин X, Y означает отсутствие любой связи (линейной и нелинейной), а некоррелированность – отсутствие только линейной связи.

Если случайные величины X, Y независимы, то они некоррелированы (ρ = 0), но из некорелирванности не следует их независимость, т.е. равенство ρ = 0 указывает лишь на отсутствие линейной связи между переменными, но не на отсутствие связи между ними вообще.

Выборочный коэффициент корреляции определяется выражением:

.

При каждом конкретном значении ρ выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной, изменяющейся в пределах - 1≤ r ≤ 1.

Если ρ = 0 для генеральной совокупности, то это необязательно означает, что r = 0 для выборочной совокупности.

Для вычисления коэффициента корреляции в Excel имеется функция

r = КОРРЕЛ (массив_ х; массив_ y).