Прямая линия

Всякое уравнение первой степени относительно декартовых координат изображает прямую линию и, обратно, всякая прямая линия изображается в декартовых координатах уравнением первой степени.

Уравнение прямой по угловому коэффициенту k = tg j, где угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс, и величине отрезка b, отсекаемого данной прямой на оси ординат, считая от начала координат, имеет вид y = kx + b.

Если φ = , то tg φ = tg не существует. Поэтому уравнение примет вид x = a.

Пример 4. В уравнении y = 3 x – 2 угловой коэффициент k = 3,
b = –2, (x; y) − координаты любой точки прямой.

Пусть x = 1, тогда y = 3 × 1 – 2 = 1. Значит, точка (1; 1) принадлежит прямой.

Точка (2; –5) не принадлежит прямой, так как ее координаты не удовлетворяют уравнению, т. е. –5 ≠ 3 × 2 – 2; –5 ≠ 4.

Тест 3. Прямой y = –2 x + 1 принадлежит точка:

1) (0; 3);

2) (–1; 3);

3) (2; 3);

4) (–2; 1).

Тест 4. Прямая y = –2 x + 5 образует с положительным направлением оси ОX угол α, равный:

1) –2;

2) tg(–2);

3) arctg(–2);

4) arctg 5.

Условие параллельности двух прямых: k ₁ = k ₂.

Условие перпендикулярности двух прямых: k ₁ × k ₂ = –1 или .

Пример 5. Прямые y = 2 x – 3 и y = 2 x + 5 параллельны, так как
k ₁ = 2 = k ₂. Прямые y = 3 x + 5 и y = перпендикулярны, так как
k ₁ = 3, и = –1.

Тест 5. Угловой коэффициент и отрезок, отсекаемый на оси ординат прямой 2 x – y + 3 = 0, равны:

1) k = –1; b = 2;

2) k = 3; b = 2;

3) k = 2; b = 3;

4) k = 2; b = –1.

Тест 6. Уравнение прямой, проходящей через начало координат и наклонной к оси ОX под углом 45°, имеет вид:

1) y = x;

2) y = x + 45;

3) y = 45 x;

4) y =

Тест 7. Уравнение прямой, параллельной прямой y = 4 x – 3 и проходящей через начало координат, имеет вид:

1) y = 3 x + 4;

2) y = 4 x;

3) y = 3x;

4) y =

Тест 8. Уравнение прямой, перпендикулярной прямой y = и проходящей через начало координат, имеет вид:

1) y = 2 x;

2) y = x – ;

3) y = – 2 x + 1;

4) y = –2 x.

Уравнение прямой, проходящей через точку (х ₀; у ₀) и имеющей угловой коэффициент k, имеет вид y – y ₀ = k (x – x ₀).

Пример 6. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку А (3; –1) и параллельна оси абсцисс.

Решение

Так как прямая проходит через точку A (3; –1), то ее уравнение имеет вид y – (–1) = k (x – 3). Поскольку прямая параллельна оси абсцисс ОX, то угол между прямой и осью ОX равен 0°, а значит k = tg 0° = 0. Следовательно, y + 1 = 0 × (x – 3) или y + 1 = 0.

Тест 9. Уравнение прямой, проходящей через точку А (–5; –1) и параллельной прямой y = 3 x + 7, имеет вид:

1) y + 1 = 3(x + 5);

2) y + 5 = 3(x + 1);

3) y – 1 = 3(x + 5).

Угол между φ и прямыми y = вычисляется по формуле

tg φ =

Тест 10. Угол между прямыми y = 2 x + 1, y = –5 x + 3 определяется по формуле:

1) tg φ =

2) tg φ =

3) tg φ =

Прямая, проходящая через две данные точки А (х ₁; у ₁) и В (х ₂; у ₂), определяется уравнением

Пример 7. Записать уравнение прямой, проходящей через точки
А (3; –1), B (5; 0).

Решение

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки.

Получим или .

Так как последнее равенство представляет собой пропорцию, то по свойству пропорции (x – 3) × 1 = (y + 1) × 2.

После преобразований получим x – 3 = 2 y + 1, или x – 3 – 1 = 2 y, или x – 4 = 2 y.

Окончательно, y =

Тест 11. Уравнение стороны АВ треугольника АВС, у которого вершины имеют координаты А (1; –2), B (–3; –7), C (–1; –4), имеет вид:

1)

2)

3)

4)

На рисунке 4 изображена прямая в отрезках по осям координат.

Рисунок 4

Данное уравнение имеет вид

где a, b − отрезки, отсекаемые прямой на осях ОX, ОY соответственно.

Тест 12. На рисунке 5 изображена прямая.

Рисунок 5

Данное уравнение имеет вид:

1)

2)

3)

Общее уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0, где n = (a; b) − нормальный вектор прямой, т. е. вектор, перпендикулярный прямой.

Пример 8. Составить уравнение прямой, перпендикулярной вектору n = (2; –5) и проходящей через точку М (–4; 3).

Решение

Так как вектор n перпендикулярен прямой, то в общем уравнении прямой a = 2, b = –5, поэтому уравнение имеет вид 2 x – 5 y + c = 0. Точка М (–1; 3) принадлежит прямой, значит ее координаты обращают уравнение прямой в верное равенство, т. е. 2 × (–1) – 5 × 3 + с = 0. Откуда с = –17.

Ответ: 2 x – 5 y – 17 = 0.

Тест 13. Прямая – x + 4 y + 9 = 0 перпендикулярна вектору:

1) (–1; 4);

2) (–1; 9);

3) (4; 9);

4) (4; –1).

Пусть даны две прямые и

Тогда:

1) угол φ между ними вычисляется по формуле

2) условие параллельности:

3) условие перпендикулярности: = 0;

4) пересечение прямых:

5) условие совпадения прямых:

6) точкой пересечения прямых является решение системы их уравнений.

Тест 14. Прямая x – 2 y + 5 = 0 параллельна прямой:

1) 2 x + y + 5 = 0;

2) x + 2 y + 4 = 0;

3) 3 x – 6 y + 1 = 0;

4) 5 x – 10 y + 5 = 0.

Тест 15. Прямая x – 2 y + 5 = 0 перпендикулярна прямой:

1) x – 2 y + 1 = 0;

2) 2 x + y + 7 = 0;

3) x + 2 y + 3 = 0;

4) x – 2 y + 6 = 0.

Тест 16. Прямая x – 2 y + 5 = 0 совпадает с прямой:

1) 3 x + 6 y + 15 = 0;

2) 5 x – 10 y + 25 = 0;

3) x + 2 y + 5 = 0;

4) x – 2 y + 6 = 0.

Тест 17. Угол между прямыми 3 x – y + 1 = 0, –2 x + 5 y – 4 = 0 опре-
деляется по формуле:

1)

2)

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀; y ₀) и параллельной направляющему вектору a = (m; n), имеет следующий вид:

Очевидно, a × n = 0.

Пример 9. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой
3 x – y + 2 = 0 и проходящей через точку В (–1; 0).

Решение

Так как прямые перпендикулярны, то нормальный вектор одной является направляющим вектором другой. Значит, n = (3; –1) = a. Поэтому искомое уравнение имеет вид

Преобразуем: –1(x + 1) = (y – 0) × 3, y =

Ответ: y = .

Тест 18. Уравнение прямой, параллельной вектору a = (–2; 4) и проходящей через точку М (3; –5), имеет вид:

1) ;

2) x – 3 = y + 5;

3) .

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀; y ₀) и параллельной вектору a = (m; n), имеют вид

, t Î R.

Тест 19. Направляющим вектором прямой , t Î R является:

1) a = (2; –1);

2) a = (3; 1);

3) a = (–3; –1).

Тест 20. Направляющим вектором прямой 3 x – y + 5 = 0 является:

1)

2) (3; –1);

3) ;

4) (1; 3).

Расстояние от точки M ₀(x ₀; y ₀) до прямой ax + by + c =0 определяется по формуле

Пример 10. Найти длину высоты CD треугольника ABC с вершинами A (3; 0), B (–1; 2), C (4; –6).

Решение

Длина высоты треугольника ABC равна расстоянию от точки C до прямой AB.

Найдем уравнение стороны AB треугольника, используя уравнение прямой по двум точкам:

, или 2(x – 3) = –4 y, или 2 x + 4 y – 6 = 0.

Тогда длина высоты равна

= = = =

Тест 21. Расстояние от точки (4; –3) до прямой – x + 5 y + 2 = 0 находится по формуле:

1)

2)

3)

4)

Ответы на тестовые задания