Кривые второго порядка

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 a, и большая чем расстояние между фокусами, равное 2 c (рисунок 6).

Рисунок 6

Простейшее каноническое уравнение эллипса получается в системе координат, в которой за ось абсцисс выбрана прямая, соединяющая фокусы, начало координат 0 − середина отрезка, концами которого служат фокусы, ось ординат – прямая, проходящая перпендикулярно оси ОX через точку 0. Тогда уравнение эллипса примет следую-
щий вид:

где

При таком выборе системы координат оси координат совпадают с осями симметрии эллипса, а начало координат − с центром симметрии. Точки А ₁(a; 0), А ₂(– a; 0), В ₁(0; b), В ₂(0; – b) называются вершинами эллипса. Отрезки, заключенные между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось А ₁ А ₂ = 2 a, малая ось В ₁ В ₂ = 2 b. Параметры a и b уравнения равны полуосям эллипса. Эксцентриситетом (e) эллипса называется отношение расстояния (2 c) между фокусами к большей оси (2 a), т. е. ; очевидно, что e< 1. Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном . Уравнения директрис сле-
дующие:

Пример 11. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что малая полуось равна 3 и эксцентриситет

Решение

Уравнение будем искать в виде

Из условия b = 3. Так как с одной стороны , а с другой стороны по условию то Откуда Для эллипса параметры a, b, c связаны соотношением Поэтому, подставляя значения b и c, получим уравнение

или

или

а ² = 6.

Ответ:

Тест 22. Уравнение эллипса, полуоси которого равны a = 3, b = 2, имеет вид:

1)

2)

3)

Тест 23. Дано уравнение эллипса

Вычислить длину осей, фокусное расстояние, эксцентриситет:

1) 16; 9; 25;

2) 8; 6; 2

3) 4; 3; 1; 8.

Пример 12. Дан эллипс Написать уравнение его директрис.

Решение

Уравнения директрис следующие: . Из уравнения а ² = 36,
b ² = 20. Следовательно, a = 6, или с = 4. Найдем e = Подставим в уравнения

Ответ: x = ±9.

Уравнение эллипса, центр которого находится в точке (х ₀; у ₀), а оси симметрии параллельны осям координат, имеет вид

Тест 24. Центр эллипса находится в точке:

1) (3; 1);

2) (3; –1);

3) (10; 5);

4) (5; 10).

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2 a, и меньшая чем расстояние между фокусами, равное 2 c (рисунок 7).

Рисунок 7

Простейшее каноническое уравнение гиперболы имеет вид

(1)

где b ² = c ² – a ².

Прямая, соединяющая фокусы F ₁, F ₂ гиперболы, служит осью абсцисс, начало координат находится в середине между фокусами; при этом оси координат совпадают с осями симметрии гиперболы, начало координат – с ее центром симметрии (оси и центр гиперболы).

Гипербола имеет две действительные вершины А ₁(a; 0), А ₂(– a; 0) на фокальной оси; отрезок А ₁ А ₂ = 2 a называется действительной осью гиперболы, отрезок В ₁ В ₂ = 2 b – мнимой осью гиперболы. Таким образом, параметры a и b в уравнении гиперболы равны длинам действительной и мнимой полуосей соответственно.

Если a = b, то гипербола называется равносторонней.

Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2 a и направление по оси x, а действительная ось, длиной 2 b, совпадает с осью y, то уравнение такой гиперболы имеет следующий вид:

(2)

где

Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными гиперболами.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к действительной оси: e = и при этом e > 1. Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные к фокальной оси и отстоящие на расстоянии, равном Уравнения директрис следующие: Асимптоты гиперболы определяются равенствами

Если точка, двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляется, то расстояние ее от одной из асимптот стремится к нулю. Асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами 2 a, 2 b (рисунок 7).

Пример 13. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, зная, что:

1. Расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами – 10.

2. Действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку
(9; –4).

Решение

1. Уравнение гиперболы имеет вид

Так как расстояние между вершинами равно 8, то 2 a = 8 или a = 4. Учитывая, что расстояние между фокусами равно 10, имеем 2 c = 10, откуда c = 5. Найдем b ² из соотношения b ² = c ² – а ², т. е. b ² = 5² – 4² =
= 25 – 16 = 9.

Ответ:

2. Так как действительная ось равна 6, то 2 a = 6 или a =3. Поэтому уравнение гиперболы принимает вид Поскольку гипербола проходит через точку (9; –4), то ординаты этой точки обращают уравнение в истинное равенство, т. е. или или 9 – 1 = или b ² = = 2.

Ответ:

Тест 25. Уравнение гиперболы, действительная ось которой равна 10 и лежит на оси ОX, а мнимая ось равна 16 и лежит на оси ОY, имеет вид:

1)

2)

3)

Тест 26. Дано уравнение гиперболы Вычислить длину осей, фокусное расстояние, эксцентриситет:

1) 10; 16; 2

2) 4; 5;

3) 5; 4;

Пример 14. Дана гипербола Написать уравнение ее директрис и асимптот.

Решение

Из уравнения а ² = 16, b ² = 25. Откуда a =4, b =5. Найдем Тогда уравнения директрис следующие: , или x = , или x =

Уравнения асимптот после подстановки a, b принимают вид y =

Ответ: x = y =

Тест 27. Указать, принадлежит ли точка (0; 2) гиперболе = 1:

1) да;

2) нет.

Уравнение гиперболы, центр которой находится в точке (х ₀; у ₀), действительная ось совпадает с осью ОX, мнимая – с осью ОY, имеет вид

Тест 28. Центр гиперболы находится в точке:

1) (5; 7);

2) (–5; –7);

3) (9; 16);

4) (3; 4).

Ответы на тестовые задания