Критерии оптимального обнаружения и различения сигналов

Критерием оптимальности называется правило, по которому из всех возможных обнаружителей можно выбрать наилучший.

Наиболее общим критерием оптимального обнаружения является критерий Байеса, или иначе - критерий минимума среднего риска.

С точки зрения критерия Байеса оптимальным считается такой обнаружитель, который имеет минимальную вероятность ошибочных решений с учетом их «веса» или степени нежелательности.

Используя условные вероятности Р_по, Р_лт и выражение (7.3), можно записать следующее выражение для среднего риска процесса обнаружения

, (7.4)

где С_проп и С_лт - веса ошибочных решений.

Вынесем в выражении (7.4) за скобки Р(Н₁)С_проп, тогда

, (7.5)

где L₀ - весовой множитель, равный

.

Из анализа (7.5) следует, что условие минимизации заключается в получении максимального значения разности (Р_по - L₀Р_лт), которую называют взвешенной разностью.

Таким образом,

. (7.6)

Критерий Байеса является наиболее общим. На его основе, как частные случаи, могут быть получены и другие критерии.

Если принять веса ошибок одинаковыми С_проп = С_лт = 1, то из (7.4) получим, что средний риск равен суммарной вероятности ошибки

. (7.7)

Условие минимума суммарной вероятности ошибки (7.7) называется критерием идеального наблюдателя. Он используется при решении задач передачи сообщений, где одинаково нежелательны как пропуски, так и искажения элементов сообщения.

По аналогии с (7.6) для критерия идеального наблюдателя можно записать вместо (7.7) следующее условие оптимизации

. (7.8)

В радиолокации наибольшее применение находит критерий Неймана-Пирсона, являющийся частным случаем критериев Байеса и идеального наблюдателя. Сущность критерия заключается в том, что фиксируется условная вероятность ложной тревоги Р_лт, после чего максимизируется условная вероятность правильного обнаружения Р_по.

Критерий записывается в виде

Р_лт = const, Р_по = max, (7.9)

Широкое применение критерия Неймана-Пирсона в радиолокации объясняется тем, что:

во-первых, как правило, неизвестны априорные вероятности Р(Н₀) и Р(Н₁), а также С_проп и С_лт;

во-вторых, в обзорных РЛС большую часть интервала наблюдения принятый сигнал обусловлен только шумом, поэтому ложная тревога является крайне нежелательной и ее величина должна быть ограничена заранее, исходя из тактических соображений. Обычно задают Р_лт = 10^-10 …10^-6, используя выражение Р_лт» t_ш / Т_лт; где t_ш - длительность шумового выброса, Т_лт - период появления ложной тревоги.

Таким образом, в результате наблюдения выборки (x₁,..., x_n) по выбранному критерию оптимальности должно быть получено одно из двух взаимоисключающих решений: А- сигнал есть, - сигнала нет. Каждая возможная выборка представляется в многомерном пространстве одной точкой. Оптимальный обнаружитель должен разделить пространство выборок на два соприкасающихся пространства X и .Если точка М, соответствующая k-й выборке (x₁,..., x_n), попадает в пространство X - принимается решение А, в противном случае - решение . В соответствии с критерием (7.6) можно записать

, (7.10)

где р(x₁,..., x_n / l = 1) и p(x₁,..., x_n / l =0) - условные n-мерные плотности вероятности дискретной выборки (x₁,..., x_n) при наличии сигнала (l = 1) и при его отсутствии (l = 0) соответственно.

Выполнение условия (7.10) возможно при положительной подынтегральной разности

,

то есть

. (7.11)

Следовательно, оптимальный обнаружитель должен вычислять величину

, (7.12)

определяемую отношением функций правдоподобия L(l = 1) и L(l = 0) и называемую отношением правдоподобия. Если L сравнить с некоторым порогом L₀, то получим правило принятия решения

. (7.13)

Таким образом, критерием оптимального обнаружения может служить критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего критерия Байеса. В соответствии с этим критерием оптимальный обнаружитель (рис.7.2) должен сформировать отношение правдоподобия (блок ОП) и подать его на пороговое устройство ПУ, где осуществляется процедура сравнения L с порогом L₀, в результате которой выносится одно из двух возможных решений: - нет сигнала или А - есть сигнал. Выбор какого-то частного критерия оптимальности (байесовского, идеального наблюдателя, Неймана - Пирсона) сказывается лишь на значении порога L₀, никак не влияя на основную часть обнаружителя - блок ОП, где происходит оптимальная обработка реализации x(t). В радиолокации значение порога L₀ устанавливается исходя из критерия Неймана-Пирсона.

Рис. 7.2.