Принцип Даламбера для материальной точки и для механической системы

Предположим, что материальная точка под действием системы сил движется с ускорением (рис.3)

Основное уравнение динамики имеет вид

Перенесем член из левой части уравнения в правую

.

Введем обозначение . Сила называется силой инерции материальной точки и направлена противоположно ускорению точки.

Тогда последнее уравнение примет вид

. (4)

Последнее соотношение формулируется так: геометрическая сумма всех приложенных к точке сил и силы инерции этой точки равна нулю.

Как известно, в действительности, сила инерции материальной точки приложена не к ней, а к телу, сообщающему точке ускорение. Приложение силы инерции к точке является лишь условным приемом, сводящим задачу динамики по форме решения к задаче статики.

При изучении движения несвободной механической системы, так же как и при изучении движения одной несвободной точки, применяется принцип освобождаемости от связей. По этому принципу имеющиеся связи отбрасывают, заменяя их действие соответствующими реакциями.

Рассмотрим несвободную механическую систему, состоящую из материальных точек. Применив к каждой точке этой системы принцип Даламбера, получим

, (5)

где - равнодействующая задаваемых сил, приложенных к точке ; - равнодействующая реакций связей, приложенных к этой точке; - сила инерции материальной точки .

Сложим все уравнений (5)

. (6)

Здесь - главный вектор задаваемых сил; - главный вектор реакций связей; - главный вектор сил инерции точек системы.

Подставляя эти значения в уравнение (6), будем иметь

. (7)

Из уравнения (7) следует, что в любой момент времени для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных векторов задаваемых сил, реакций связей и сил инерции материальных точек системы равна нулю.

Применение уравнения (7), вытекающее из принципа Даламбера, упрощает процесс решения задач, так как эти уравнения не содержат внутренних сил.

В проекциях на координатные оси равенство (7) дает уравнения, аналогичные уравнениям статики.

В заключение следует подчеркнуть, что при изучении движения по отношению к инерциальной системе отсчета, силы инерции вводятся только тогда, когда для решения задач применяется принцип Даламбера.

Ниже приводятся формулы для приведения сил инерции твердого тела при различных случаях его движения.

1. Поступательное движение. В этом случае ускорения всех точек тела одинаковы и равны ускорению центра масс тела. Поэтому, силы инерции твердого тела приводятся к равнодействующей, равной и проходящей через центр масс тела.

2. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс тела. В этом случае , так как . Следовательно, система сил инерции тела приводится к одной паре сил с моментом , где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости симметрии тела; - угловое ускорение тела.

3. Плоскопараллельное движение. В этом случае система сил инерции тела приводится к лежащим в плоскости симметрии силе, равной и приложенной в центре масс тела, и паре с моментом .

В приведенных выше формулах для (или ) знак минус указывает на то, что вектор (или ) направлен противоположно ускорению центра масс тела (или угловому ускорению тела).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Два груза веса и каждый, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием силы , приложенной к первому грузу (рис.4а). Коэффициент трения грузов о плоскость равен . Определить скорение грузов и напряжение нити.

Решение. Изобразим все действующие на систему внешние силы (, , , , , ). Прибавим к этим силам силы инерции грузов. Так как оба груза движутся поступательно с одним и тем же ускорением, то

, .

Модули сил трения равны:

, .

Согласно принципу Даламбера полученная система сил должна находиться в равновесии. Составив уравнение равновесия в проекции на горизонтальную ось, получим

.

Отсюда

.

Очевидно, что грузы будут двигаться, если .

Так как натяжение нити является в рассматриваемой системе силой внутренней, то для ее определения расчленяем систему и применяем принцип Даламбера, например, ко второму грузу (рис.4б). На этот груз действуют сила , нормальная реакция , сила трения и натяжение нити . Присоединив к ним силу инерции и составив уравнение равновесия в проекции на горизонтальную ось, получим

.

Подставив сюда найденное ранее значение , окончательно найдем значение

.

Интересно, что натяжение нити не зависит от силы трения и при одном и том же суммарном весе системы будет тем меньше, чем меньше вес второго (заднего) груза. Поэтому, например, в железнодорожном составе выгоднее в его головной части помещать более тяжелые вагоны, а в хвостовой части – более легкие.

Пример 3. Невесомый стержень длинны , несущий на каждом мз своих концов груз веса , жестко скреплен в середине с вертикальной осью, опирающейся на подпятник и подшипник и вращающийся с постоянной угловой скоростью . Угол между осью и стержнем равен , расстояние . Найти горизонтальные реакции и подпятника и подшипника в точках и и вертикальную реакцию подпятника в точке (рис.5).

Решение. Так как грузы вращаются равномерно, то их касательные ускорения, а следовательно, и их касательные силы инерции равны нулю. Приложим к грузам нормальные силы инерции, направленные по радиусам вращения грузов от оси вращения, равные по модулю

.

Составим три уравнения равновесия плоской системы сил, которым, согласно принципу Даламбера, должны удовлетворять заданные силы , силы инерции и реакции в точках и . Спроектировав все эти силы на оси и , получим

.

Составим затем сумму моментов всех этих сил относительно точки

.

Решив эти уравнения, получим

и .