![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема об изменении количества движения.
Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:
Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того, Окончательно находим:
Уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будем иметь:
Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент или так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил. Уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени. В проекциях на координатные оси будем иметь:
Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о движении центра масс. Так как Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм. Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости).
УДАР ТЕЛА О НЕПОДВИЖНУЮ ПРЕГРАДУ Рассмотрим тело (шар) массой M, ударяющееся о неподвижную плиту. Действующей на тело ударной силой будет при этом реакция плиты; импульс этой силы за время удара назовем S. Пусть нормаль к поверхности тела в точке его касания с плитой проходит через центр масс тела (для шара это будет всегда). Такой удар тела называется центральным. Если скорость v центра масс тела в начале удара направлена по нормали n к плите, то удар будет прямым, в противном случае -- косым. . Случаи прямого удара. Составляя в этом случае уравнение (154) в проекции на нормаль n (см. рис. 375) и учитывая, что Q0 = M v, a Q0 = M u, получим M (un - vn) = Sn. Но при прямом ударе un = u, vn = -v, Sn = S. Следовательно, M (u + v) = S. Второе уравнение, необходимое для решения задачи, дает равенство u = kv. Из полученных уравнений, зная M, v, k, найдем неизвестные величины u и S. При этом S = M (1 + k)v. Как видим, ударный импульс будет тем больше, чем больше коэффициент восстановления k. На эту зависимость S от k и было указано в 153. Чтобы определить среднюю величину ударной силы (реакции), надо до- полнительно знать время удара, которое можно найти экспериментально. Пример . При падении стального шара массой m = 1 кг с высоты H = 3 м на стальную плиту (k = 0, 56) получим v = √ 2gH ≈ 7, 7м/с и u = kv = 4, 3 м/с. Ударный импульс S = mv(1 + k) ≈ 12Нс. Если время удара = 0, 0005c, то средняя величина ударной реакции N уд ср = S/ = 24000Н. 2. Случаи косого удара. Пусть в этом случае скорость v центра масс тела в начале удара образует с нормалью к плите угол, а скорость u в конце удара -- угол (рис. 377) Тогда уравнение (154) в проекциях на касательную и нормаль n даст M (u - v) = 0, M(un - vn) = S. Коэффициент восстановления в данном случае равен отношению: модулей |un| и |vn|, так как удар происходит только по направлению нормали к по- верхности (влиянием трения пренебрегаем). Тогда с учетом знаков проекций получим un = -kvn. В результате окончательно находим: u = v, un = -kvn, S = M|vn|(1 + k). Из полученных уравнений можно найти модуль и направление скорости в конце удара и ударный импульс, если величины M, V,, и k известны. В частности, из первого равенства, замечая, что v = |vn|tg и u = |un|tg, получаем |un|tg = |vn|tg, откуда k = |un|/|vn| = tg / tg. Следовательно, при косом ударе отношение тангенса угла падения, к тан- генсу угла отражения равно коэффициенту восстановления. Так как k < 1, то <, т. е, угол падения всегда меньше угла отражения
|