Равновесие системы сходящихся сил.

Из законов меха­ники следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инер­ции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода: 1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции». 2) Уравно­вешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравнове­шенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходя­щихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовле­творять сами силы, можно выразить в геометрической или аналити­ческой форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда много­угольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необ­ходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построен­ный из этих сил, был замкнут.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

.

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно , , , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.

Условие равновесия сходящихся сил

Для сходящихся сил необходимое и достаточное условие рав­новесия со­стоит в равенстве нулю ее равнодействующей. В геоме­трической форме оно выражается одним векторным равенством . Это векторное равенство эк­вивалентно трем уравнени­ям равновесия в проекциях на координатные оси:

, , . (1.4)

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил не­обходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из

трёх координатных осей равнялись нулю.

Для равновесия системы сходящихся сил, лежащих в одной плоскости, не­обходимо и достаточно, чтобы выполнялись два уравнения равновесия:

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то линии действия этих сил лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке.(теорема о трех силах)

Теорема о трех силах. Если (абсолютно твердое) тело находится в равновесии под действием плоской системы трех непараллельных сил (т.е. сил, из которых хотя бы две непараллельные), то линии их действия пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть из трех сил F 1, F 2, F ₃, приложенных соответственно в точках А, В и С (рис.3), непараллельными являются F 1 и F 2. Продолжим линии их действия до пересечения в точке О и перенесем в эту точку обе силы. Очевидно, система { F 1, F 2} эквивалентна , а эта последняя уже имеет равнодействующую R. Таким образом,

{ F 1, F 2, F 3} { R, F 3, }. (3)

Но система двух сил находится в равновесии только в том случае, если они направлены вдоль одной прямой. Следовательно, линия действия F 3 должна совпасть с линией действия R, т.е. пройти через точку О.

Момент силы относительно центра (или точки). Опыт показывает, что под действием силы твердое тело может наряду с поступательным перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра. Вращательный эффект силы характеризуется ее момен­том Рассмотрим силу , приложенную в точке А твердого тела (рис. 20). Допустим, что сила стремится повернуть тело вокруг центра О. Перпендикуляр h, опущенный из центра O на линию действия силы , на­зывается плечом силы от­носительно центра О. Так как точку приложения силы можно произвольно переме­щать вдоль линии действия, то, очевидно, вращательный эффект силы будет зависеть: 1) от модуля силы F и длины плеча h; 2) от поло­жения плоскости поворота ОАВ, проходящей через центр О и силу F; 3) от направления поворота к этой плоскости. Рис.20   Ограничимся пока рассмотрением систем сил, лежащих в одной плоскости. В этом случае плоскость поворота для всех сил является общей и в дополнительном задании не нуждается. Тогда для количественного измерения вращательного эффекта можно ввести следующее понятие о моменте силы: моментом силы относительно центра О называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на длину плеча. Момент силы относительно центра О будем обозначать сим­волом m 0(F). Следовательно, В дальнейшем условимся считать, что момент имеет знак плюс, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода ча­совой стрелки, и знак минус, - если по ходу часовой стрелки. Так, для силы , изображенной на рис.20, а, момент относительно центра О имеет знак плюс, а для силы, показанной на рис.20, б, - знак ми­нус. Отметим следующие свойства момента силы: 1) Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдольее линии действия. 2) Момент силы относительно центра О равен нулю только тогда, когда сила равна нулю или когда линия действия силы проходит через центр О (плечо равно нулю). 3) Момент силы численно выражается удвоенной площадью тре­угольника ОАВ (рис. 20, б) Этот результат следует из того, что

Замечание. Доказанное усло­вие является необходимым, но не достаточным условием равновесия. Для достаточности нужно еще равенство нулю геометрической суммы приложенных сил (см. § 3.4).