Систематический код Хемминга

Соотношение между числом информационных символов , числом исправляемых ошибок и числом символов кодовой комбинации отображается неравенством (5.6). Хемминг предложил использовать знак равенства

. (5.15)

Таблица 5.2*
n
k
r
	0.4286	0.2667	0.1613	0.0952	0.0551	0.0314

Это предложение выполняется только для определённых соотношений , и . В таблице 5.2 приведены решения уравнения (5.15) для целых , и =1.

Коды имеют минимальное кодовое расстояние и позволяют исправить одиночную ошибку. Коды имеют минимальное кодовое расстояние , обнаруживают двукратную ошибку и позволяют исправить одиночную ошибку.

Второе предложение Хемминга касается построения проверочной матрицы [7]. Проверочная матрица должна состоять из столбцов, являющихся кодом номера столбца в двоичном представлении. Например, для кода проверочная матрица будет иметь вид

В отличие от проверочной матрицы , в которой проверочные символы занимают позиции после информационных символов, проверочные символы в матрице занимают позиции кратные степени два и обозначены жирными единицами. Уравнения для определения проверочных символов получаются из матрицы , умножением его на вектор , =(h ₁, h ₂, …, h ₁₅):

(5.16)

Если задана информационная часть кода , необходимо определить значения проверочных символов на 1-ой, 2-ой, 4-ой и 8-ой позициях пятнадцатиразрядного кода по уравнениям (5.16).

Для определения синдрома ошибки проверочная матрица H умножается на принятую кодовую комбинацию. Синдром указывает номер позиции символа, в которой произошла ошибка.

Ввиду того, что код Хемминга принадлежит систематическим (линейным) кодам, можно также составить производящую матрицу (с учётом особенностей записи кодов Хемминга) и определить все кодовые комбинации составляющие множество кодов Хемминга С(n, k)

Пример 5.3 Используем код с информационной частью

. Составим таблицу 5.3, в первой строке – номера символов (разрядов) в кодовой комбинации, во второй – позиции проверочных и значения информационных символов.

Подставим значения символов согласно таблице 5.3 в систему равенств (5.16) и получим значения проверочных символов h ₁, h ₂ , h ₄, h ₈.

h₁ = h ₃ Å h ₅ Å h ₇ Å h ₉ Å h ₁₁ Å h ₁₃ Å h ₁₅ = 1 Å 1 Å 1 Å 0 Å 1 Å 1 Å 1 =0,

h ₂= h ₃ Å h ₆ Å h ₇ Å h ₁₂ Å h ₁₃ Å h ₁₄ Å h ₁₅ = 1Å 0 Å 1 Å 0 Å 1 Å 1 Å 1 =1,

h ₄ = h ₅ Å h ₆ Å h ₇ Å h ₁₀ Å h ₁₁ Å h ₁₃ Å h ₁₅ = 1 Å 0 Å 1 Å 0 Å 1 Å 1 Å 1 =1,

h ₈ = h ₉ Å h ₁₀ Å h ₁₁ Å h ₁₂ Å h ₁₃ Å h ₁₄ Å h ₁₅ = 0 Å 0 Å 1 Å 0 Å 1 Å 1 Å 1 = 0,

Кодер канала выдает последовательность символов

.

Проверка правильности вычислений – произведение . Если произошла однократная ошибка, скажем в третьем разряде, декодер выдает двоичный код ошибки , если ошибка в десятом разряде вектора, код ошибки равен .Ввиду того, что