Законы трения скольжения(при покое). Закон Амантона-Кулона. Задача о трибометре.

Законы трения скольжения:

1)Если тело на которое действует сила трения скольжения находится в покое то модуль ее может принимать любое значение. Случай предельного равновесия-модуль силы тр=макс силе тр

2)Предельная величина силы трения прямопропорциональна модулю нормальной реакции

3)Значение не зависит от площади соприкосновения

4) Значение зависит материала тел, частоты обработки пов-ей и т.п

Задача о трибометре.

X: Q- =0 Q= y: N-P=0 N=P Подбором груза находим наибольшее значение Q при котором брусок будет покоится. В силу закона Амонтона-Кулона: макс = N так что =: макс /N= Qмакс/Р

26. Антисимметричные линейные операторы. Теорема о взаимно однозначном соответствии между векторами и антисимметричными операторами в трехмерном пространстве.

Пусть х-евклидово векторное пр-во. Линейный оператор – антисимметричный, если (

В общем случае =(. Иная форма определения:

Для компонентов антисимметричного оператора в ортонорм. Базисе ≡ =-

Значит, матрица А оператора тоже антисимметрична

В частности, при i=j:

Пусть Z(x) –пр-во всех линейных операторов вида

Присоединенным представлением алгебры векторов 3-х мерного пр-ва V называется отображение: аd: V-> Z(V), которое всякому вектору ā сопоставляет лин. Оператор , определяемый формулой

Линейность оператора следует из равенств

[ =

= k[

Оператор ≡ ad будем обозначать ă и называть присоединительным оператором для вектора

Теорема: отображение ad:: V-> Z(V) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между векторами из V и антисимметричными линейными операторами:

Док-во: в силу линейный оператор , отвечающий вектору , определен однозначно. Проверим, что он антисимметричный.

Пусть { правый ортонорм. базис в V, тогда = => => , так что ,

так как , то и

Взаимная однозначность всякий оператор в 3-х мерном пр-ве имеет матр. А указанного вида; поэтому вектор находится однозначно.

Замечание: в силу взаимной однозначности установленного соответствия для всякого антисимметричного оператора однозначно определен вектор = a , для которого ă =

Следствие 1: ă

Следствие 2: ă =0ó II , т.к. ó II

Следствие 3: т.к. операторă все векторы, параллельные переводит в 0, то антисем. Операторы в 3-х мерном пр-ве необратимы (обратного оператора не сущ.)

Вывод: в 3-х мерном пр-ве операции умножения вектора на антисим. оператор эквивалентно операции векторного умножения.

32. Вращательное движение абсолютно твердого тела. Ось вращения. Траектории и скорости телесных точек при вращательном движении. Движение АТТ вращательное, если 2 телесные точки неподвижны. Пусть это точки О* и А*; обозначим через е* телесную прямую А*О*, а через ɭ текущее положение этой прямой в у. н. СО

Вращательное движение – частный случай сферического. Ось мгновенного вращения в любой момент проходит и через точку О и через А => она совпадает и прямой ɭ (осью вращения АТТ)

Вектор ll l ɭ

У любой точки оси вращения скорость тождественно равна 0, так что все точки оси вращения неподвижны.

Траектории любой телесной точки β * лежит на пересечении 2-х сфер с радиусами lOBl и lABl, т.е. на окружности с центром на оси вращения.

Траектории лежат в неподвижных плоскостях, ортогональных оси ɭ, ток что вращательное движение – частный случай плоского. Если ввести неподвижную систему координат Охуz, совместив ось z с осью ɭ, то плоскость Oxy можно

принять за плоскость движения.

Вывод: вращательное движение одновременно и сферическое и плоское.

27. Закон движения абсолютно твердого тела. Дифференцирование линейных операторов. Оператор угловой скорости; формула Эйлера в операторной записи.

Закон движения материального тела –правило, задающее для каждой точки тела и каждого момента времени текущее положение точки.

Прямой способ задания движения тела:

В=Н(В*; t);

конфигурация тела β зависит от t как от параметра, а В* β -произвольная точка тела

Если тело β -абс. твердое, то В* Е*(т.е. это произвольная точка тела)

Векторный способ: задают 2 ф-ции времени = ; = (t)(операторная);

Здесь А- текущее положение полюса А* *, а -оператор ориентации АТТ.

Тогда по основной ф-ие геометрии движения = *, где *= , можно найти закон движения произвольной телесной точки В*

Если лин. оператор : х-> у зависит от времени t, как от параметра: , то его производной по t наз-ся предел =

Пусть сущ. t оператор = мультипликативной производной (умножения) по t наз-ся лин. оператор: , т.к. : -y-> x, то : y-> y, т.е.

Оператор угловой скорости характеризует быстрому изменению ориентации АТТ формула = принимает вид = , т.к. - , получаем

(*)
Это формула Эйлера(в операторной записи)

Вывод: мгновенное движение АТТ задано, если известны вектор и оператор .

28. Теорема об антсимметричности оператора угловой скорости. Вектор угловой скорости; формула Эйлера в векторной записи. Траектории и скорости телесных точек при сфкрическом движении.

Теорема: оператор угловой скорости антисимметричный: =-

Док-во: в силу ортогональности = , дифференцируем по t + =0

Вычисляем = = = ,

Вектор , сопоставляемый антисимметричному оператору по формуле =[ ] называется вектором угловой скорости АТТ.

Если - един-ные векторы системы коорд. xyz, то = + + , а матрица =

Вектор изменения ориентации АТТ

Это свободный вектор, т.к. его компоненты выражаются только через направление cos и их производных, а от выбора полюса не зависит

, это формула Эйлера в векторной записи, была получена в 1765 году.

Движение АТТ сферическое, если одна из телесных точек неподвижна, поскольку текущее положение О этой точки О* не изменяется с течением времени, то О можно принимать за

начало неподвижной системы координат.

Выберем точку О* за полюс, тогда = *, где *=

Вывод: соотношения = (t) определяет закон сферического движения тела

Из услвия IОВI=const следует, что траектории телесных точек при сферическом движении лежат на концентрических сферах

При сферическом движении принимает вид (*)

.

При сферическом движении АТТ:

-мгновенное движение в любой момент времени-мгновенное вращение, ось которого всегда проходит через точку О;

-распределение скоростей телесных точек задается формулой (*).

29. Плоское движение АТТ. Матрица направляющих косинусов при таком движении. Вывод соотношений для координат двух телесных точек при плоском движении.

Движение АТТ – плоское (или плоскопараллельное), если все телесные точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (плоскость движется).

Траектории телесных точек при этом- плоские кривые.

Примем за плоскость движение Oxy ту из параллельных плоскостей, в которой движется полюс А*

Точки тела, движущегося в этой же плоскости, образуют плоскую фигуру.

Вывод: Изучение плоского движения АТТ сводится к изучению движения плоской фигуры.

Здесь Аx’, Ay’, Az’-текущее положение осей А*х*, А*у*, А*z* (ось Az’ сонаправлена оси Оz)

Угол ϕ -угол поворота тела, отсчитывается от направляющей оси Ох до оси Ax’ в положительную сторону.

Перейдем у метрической записи основной формулы геометрии движения: = *, где *= .

Для чего введем столбцы: = , = , =

Получаем (*) = +

Сейчас =0

Напр. косинусов =cos( =cos ϕ

=cos( =-sin ϕ

=cos( =sin ϕ

=cos( =cos ϕ

=cos( =cos 0=1

Остальные cos=0(векторы ортогональны)

Г= Вывод: соотношения определяют закон плоского движения тела, при этом координаты т. В в силу (*) можно найти по формулам

(**)

Для точек плоской фигуры

30. Вывод формул для компонент оператора и вектора угловой скорости при плоском движении. Получение соотношений для проекций скоростей двух телесных точек.

Для оператора угловой скорости АТТ имеем =

В матричной форме

(*) = =

Матрица Г при плоском движении Г=

Вычисляем =cos

.

Поэтому =

У матрицы 3-я строка нулевая, поэтому в силу (*) =0.

Т.к. на 1-й столбец (т.е. на первую строку Г):

(ϕ ̇ cos ϕ) ϕ - sin⁡ ϕ (-sin⁡ ϕ)

=0,

Ед. для

Вывод: угловая скорость АТТ в плоском движении – вектор , где

Для оператора угловой скорости: = , а в матричной записи =

Пусть теперь скорость j-ого тела, а телесные точки А* и В* движутся в плоскости движения Оxy. Пусть – угол, образуемый направленным отрезком с положительным

направлением оси Ох.

Т.к. ≡ 0, ≡ 0, то =0 и =0

Переход от А к В представим графом (1) А

Подставим теперь в ф-лу Эйлера

В матричной записи (2) = +

Здесь = , = , , =

Переходя к компонентной записи из (2) получаем

,

Эти формулы соответствуют графу (1).

Аналитический метод решения задач кинематики

Пример составного графа:

А

Распишем данный граф:

(1)

Соотношения (1) верны при следующем основном дополнении – скорости тех точек j-ого и k-ого тел, текущим положение которых служит т. В

Порядок решения типичных задач:

1. Выбрать кинематический граф, с которым связано не более 2-х неизвестных кинематических величин.

2. Составить кинематические соотношения для выбранного графа.

3. Учесть связи в концевых точках графа.

4. Решить полученные кинематические ур-я.

5. Если не все неизвестные найдены, вернуться к 1.

31. Решение задачи о разложении вектора на параллельную и ортогональную составляющие. Вычисление вектора угловой скорости по вектору относительной скорости при плоском движении.

Лемма: формула (*) =(, ) +[ , [ ]] дает разложение вектора на 2 составляющие:

параллельную и ортогональную заданному ед. вектору

Док-во: проекция вектора на направлении вектора (, ) так, что =(, )

Применяем формулу «БАЦ» минус «ЦАП» для двойного векторного произведения

[ , [ ]]= , - , , получаем [ , [ ]]= , - , = =

Найдем угловую скорость тела , если известны вектор ≡ -

Запишем ф-лу Эйлера в виде (**) =[ ]

Разложим вектор на 2 составляющие: параллельную и ортогональную вектору =

= [ ]] в силу (**): .

Замечание: поскольку =( - +( - , =( - +( - ,

то - - ( - ( - ]