Средняя арифметическая, ее виды и основные свойства

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя. Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Ø Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака):

где х1, х2, …хn – индивидуальные значения варьирующего признака (варианты);

n – число единиц совокупности.

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Ø Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин х1, х2, …, хn, - вычисляется по формуле:

где f1, f2,..., fn – веса (частоты повторения одинаковых признаков);

Σ xf – сумма произведений величины признаков на их частоты;

Σ f – общая численность единиц совокупности.

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид: где - частость, то есть доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Если частоты подсчитывают в долях (коэффициентах), то Σ d = 1 и формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

Часто приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), то есть среднюю из средних. Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака. При этом средние, которые служат для исчисления на их основе общей средней, принимаются в качестве вариантов.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних осуществляется по формуле: где, f – число единиц в каждой группе.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами.

Свойство 1. Если все индивидуальные значения признака (то есть все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве i – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется «способом отсчета от условного нуля» или «способом моментов».

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m1 умножить на i и прибавить А:

Данный способ вычисления средней арифметической из вариационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.