Показатели вариации

Под вариацией понимают различие значений признака у единиц совокупности в один и тот же период или момент времени. Это колеблемость, многообразие, изменчивость значений признака, не связанная с динамическими изменениями. Показатели вариации как бы дополняют рассмотренные средние характеристики ряда распределения.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

Для измерения размера и интенсивности вариации значений признака используют абсолютные и относительные показатели.

К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации R, среднее линейное отклонение , дисперсию , среднее квадратическое отклонение.

Абсолютные показатели вариации

Название показателя	Формула расчета
при использовании индивидуальных данных	при использовании сгруппированных данных
1.Размах вариации
2.Среднее линейное отклонение
3. Дисперсия
4.Среднее квадратическое отклонение

Размах вариации является простейшим и самым приблизительным показателем. В его исчислении участвуют лишь два крайних значения признака (максимальное и минимальное), поэтому он не отражает закономерностей вариации всей совокупности.

Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение учитывает все отклонения индивидуальных значений признака от средней величины, но без учета знака. Этот показатель отражает среднее отклонение значений изучаемого признака от средней величины, легко интерпретируется и рассчитывается, но его нельзя поставить в соответствии с каким-либо вероятностным законом, в том числе и с нормальным распределением.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных).

Формулы дисперсий можно преобразовать, учитывая, что

то есть дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней. Дисперсия не имеет единиц измерения.

Среднее квадратическое отклонение есть корень квадратный из дисперсии. В реальных совокупностях σ всегда больше. Соотношение зависит от наличия в совокупностях резких, выделяющихся отклонений и может служить показателем неоднородности совокупности (чем выше это соотношение, тем больше степень неоднородности). Для нормального закона распределения σ ≈ 1, 25.

Абсолютные показатели вариации отражают с различной степенью точности размеры вариации в изучаемой совокупности, но не позволяют:

1) судить об интенсивности вариации значений признака;

2) сравнивать размеры вариации в различных совокупностях.

Для этого используются относительные показатели вариации. Они рассчитываются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической величине признака. К таким показателям относят:

1) относительный размах вариации -

2) относительное среднее линейное отклонение -

3) коэффициент вариации -

Оценка степени интенсивности вариации возможна только в отношении каждого отдельного признака и совокупности определенного состава. Такая оценка заключается в сравнении относительного показателя вариации (чаще всего коэффициента вариации) с некоторой обычной величиной, принимаемой за норматив.

Если коэффициент вариации составляет не менее 33, 3 %, исследуемая совокупность считается весьма неоднородной и для проведения дальнейшего анализа должна быть разгруппирована.

Отношение размаха вариации к средней арифметической в процентах называется коэффициентом осцилляции:

В нормальном ряду распределения между , D, σ, R существуют определенные соотношения.

следовательно

Зная и σ, можно представить размах вариации как R = ± 3σ.