Критерии для проверки значимости коэффициентов автокорреляции

Критерий стандартной ошибки служит для проверки значимости коэффициентов автокорреляции каждого порядка по отдельности:

,

где – размер выборки,

— выборочный коэффициент корреляции порядка .

Критерий Бокса-Пирса () проверяет на значимость все множество коэффициентов как группу.

~ , где

— максимальный рассматриваемый лаг

n – объем выборки.

Два критерия предполагаются из-за существования двух подходов к проверке наличия автокорреляции, в зависимости от ситуации.

Пример: Пусть рассматриваются уровни цен и доходность британских государственных долгосрочных облигаций. Коэффициенты автокорреляции рассчитываются на основе выборки из 900 наблюдений. Тогда стандартная ошибка:

.

Построим гипотезу о равенстве нулю выборочного коэффициента автокорреляции и альтернативную для нее:

: (не значимы);

: (значимы).

Для проверки гипотезы в общем случае необходимо рассчитать значение -статистики. В случае большой выборки можно использовать -статистику (нормальное распределение):

.

Затем для проверки гипотезы на 5% уровне значимости (двухсторонний тест) необходимо сравнить посчитанное значение с критическим табличным значением статистики.

Если , принимается основная гипотеза . Иначе она отвергается.

,

,

,

.

Доверительный интервал будет выглядеть следующим образом:

Лаг,	Функция ACC,
	0.095
	0.012
	0.074
	-0.009
	0.022
	0.031
	0.080
	0.068
	0.011

В данном случае рассматривается временной ряд цен облигаций. Значимыми оказываются коэффициенты корреляции с лагами 1, 3, 7, 8 — . Таким образом, на сегодняшний уровень цен влияют цены, отстающие на 1, 3, 7, 8 лагов (дней, недель, месяцев, лет и так далее).

Построим критерий Бокса-Пирса:

~ , где

— максимальный рассматриваемый лаг (в данном примере ). В нашем случае Q -статистика будет иметь следующее значение:

.

Сравним с .

, значит как группа коэффициенты для лагов в девять периодов являются значимыми.

Частный коэффициент автокорреляции (PACC)

Измеряет связь между текущим значением переменной и лаговыми значениями переменной , когда влияние всех промежуточных переменных устранено (аналог — условная вероятность, условный экстремум). Таким образом частный коэффициент автокорреляции первого порядка будет равен коэффициенту корреляции первого порядка (), так как нет промежуточных лагов.

Но (), при .

В динамическом процессе частные коэффициенты автокорреляции значимо отличаются от нуля для временных лагов от 1 до р (то есть ), а затем резко падают до нуля.

Если значения частного коэффициента автокорреляции падает по экспоненте, а не опускается резко до нуля, то можно предположить, что ряд содержит процесс скользящей средней (MA).

Критерий для ARMA процессов. Критерий Люнга-Бокса (Ljung-Box, 1978 г.)

Для проверки автокорреляции в рядах, где присутствуют элементы и автокорреляции, и скользящей средней.

Статистика LB:

~ , где

— максимальное число временных лагов, рассматриваемых в модели;

— порядок авторегрессии ;

— порядок скользящей средней .