Сведение нестационарного ряда к стационарному

Статистические свойства стационарных и нестационарных временных рядов существенно отличаются и для их моделирования должны применяться различные методы.

Моделям стационарных временных рядов уделяется большое внимание, так как многие ряды могут быть приведены к стационарным после операции выделения тренда, сезонной компоненты или взятия последовательной разницы (другое название такого процесса — это интеграция). Под степенью интегрирования понимается порядок разности, который нужно рассчитать для того, чтобы получить стационарный временной ряд.

Запись означает применить оператор взятия последовательной разницы к раз.

Упражнение 3:

Записать полную форму оператора взятия последовательной разницы для:

a) ;

b) .

Формально можно применять оператор сколь угодно раз до тех пор, пока не будет получен стационарный ряд. Эти последовательные разницы надо брать, если визуально можно заметить, что в нестационарном ряду присутствует элемент стационарности — флуктуации ряда (случайное отклонение) стационарны с точностью до сдвига уровня. На практике, как правило, применяется небольшое количество раз — один или два.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой, сезонной и случайной компонент.

Рис.5 Объем продаж пиротехники

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма этих компонентов, называются аддитивными моделями:

.

Модели, в которых временной ряд представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компоненты, называются мультипликативными моделями:

.

Основные виды трендов:

§ Линейный тренд:

(3);

§ Квадратичный тренд:

(4);

§ Экспоненциальный тренд:

(5).

Коэффициенты в уравнениях регрессии оцениваются обычным МНК. Чтобы выделить тренд в моделях типа (3) и (4) можно применить обычную технику оценивания параметров регрессионных уравнений, считая — независимой переменной.

После этого мы получим ряд остатков для описания которого можно будет применить модели стационарных временных рядов.

Упражнение 4:

a) Показать что ряд — не стационарный, а после применения оператора взятия последовательной разности ряд становится стационарным;

b) Стационарен ли ряд ? Приводит ли применение оператора взятия последовательной разности первого порядка ряд к стационарному виду? Если нет, то сколько раз необходимо применить оператор последовательной разности, чтобы ряд стал стационарным?