II способ

Покажем без преобразований, что — «Случайное блуждание» — не стационарный процесс.

1. , так как и , то ничего конкретно не можем сказать о том, что — конечно.
2. При , если , то

при

при

Таким образом, видно, что дисперсия этого процесса бесконечна, то есть процесс не стационарен.

Случайное блуждание является частным случаем более общего стохастического процесса, который называется мартингалом.

! Стохастический процесс описывает изменения переменной (случайной величины), характеризующиеся неопределенностью, то есть в отсутствии информации о вероятностном распределении этой переменной.!

Мартингал является более общим стохастическим процессом потому, что в этом случае случайная величина, хоть и должна обладать нулевым математическим ожиданием, но не обязательно должна иметь постоянную дисперсию, а изменения не обязаны быть независимыми. В общем виде такой процесс можно записать в виде:

Если

Субмартингал — случайное блуждание с «положительным» сдвигом.

Супрамартингал — случайное блуждание с «отрицательным» сдвигом.

Сдвиг означает временную тенденцию, а именно — тренд.

Введем оператор последовательной разницы:

,

обозначим , тогда случайное блуждание превращается в процесс , а это есть белый шум:

,

,

,

.

Случайное блуждание само по себе не стационарно. Однако если применить к нему оператор взятия последовательной разницы, то получим стационарный ряд: «белый шум» — ряд последовательных разниц первого порядка, где под порядком понимается количество последовательных применений операторов.

В экономике принято использовать индексы. Индекс — единичный описательный статистический показатель, который обобщает относительное изменение одной переменной или группы переменных. Например, индекс, который отражает изменение цен большого количества акций — индекс FTSE 100 — обобщает изменение цен 100 акций, зарегистрированных на Лондонской Фондовой Бирже.

Рис.4.1 Временной ряд индексов доходности	Рис.4.2 Временной ряд нормы доходности